Разбор заданий все варианта: ответы к Олимпиаде ВСОШ по Математике 10 класс, муниципальный этап для г. Москвы на 05.12.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для 10 класса. Материалы являются официальными взяты и опубликованы в ознакомительных целях
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 10 класс
Задание 1.1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.2. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 2450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 882.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых n членов равна 2178.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n > 1.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.1. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2028
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2022
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2026 )
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2024 )
→ Раскрыть ответ
Задание 3.1. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 20, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 80.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 36, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 108.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 48, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 124.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.4. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 22, AD = 12 а периметр треугольника ABC равен 56.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.1. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.2. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.3. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 5.1. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 8, BC = 10, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.2. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 7, CD = 5.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.3. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 6, BC = 9, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.4. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 6, CD = 4.
→ Раскрыть ответ
Задание 6.1. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 11 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.2. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 13 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.3. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.4. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 12 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.1. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 39? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 39? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.3. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 51? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 51? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.4. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 57? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 57? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 8.1. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x201^3)/(1 — 3×201 + 3×201^2),
если для всех i от 1 до 201 выполнено, что xi = i/201.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.2. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x101^3)/(1 — 3×101 + 3×101^2),
если для всех i от 1 до 101 выполнено, что xi = i/101.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.3. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x301^3)/(1 — 3×301 + 3×301^2),
если для всех i от 1 до 301 выполнено, что xi = i/301.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.4. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x401^3)/(1 — 3×401 + 3×401^2),
если для всех i от 0 до 401 выполнено, что xi = i/401.
→ Раскрыть ответ
