Официальные задания и ответы пригласительного этапа по Математика 10 класс 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по каждому предмету и для каждого класса.
?Задания и ответы Пригласительный этап ВСОШ «Математика» 2024 для 10 класса?
Задание 1: У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
? Узнать ответ
Задание 1.2. У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 22 метра, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 2 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
? Узнать ответ
Задание 1.3. У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 25 метра, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
? Узнать ответ
Задание 2: Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=785, (y+z)(y+z+x)=692, (z+x)(z+x+y)=973
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 2.2. Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=601 (y+z)(y+z+x)=705
(z+x)(z+x+y)=616
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 2.3. Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=591 (y+z)(y+z+x)=601
(z+x)(z+x+y)=490
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 3: У Васи было много прямоугольников размеров 1×14,1×35,1×36,1×39. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 37×37, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×36
1×39
1×35
1×14
? Узнать ответ
Задание 3.2. У Васи было много прямоугольников размеров 1×26,1×39,1×40,1×43. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 41×41, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×26
1×39
1×40
1×43
? Узнать ответ
Задание 3.3. У Васи было много прямоугольников размеров 1×22,1×33,1×34,1×37. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 41×41, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×22
1×33
1×34
1×37
? Узнать ответ
Задание 4: 166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
? Узнать ответ
Задание 4.2. 158 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
? Узнать ответ
Задание 4.3. 149 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
? Узнать ответ
Задание 5: Про выпуклый четырёхугольник ???? известно, что ??=??=5, ??=??=6. Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 5.2: Про выпуклый четырёхугольник ???? известно, что ??=??=13, ??=??=10. Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 5.3. Про выпуклый четырёхугольник ???? известно, что ??=??=10, ??=??=12.
Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 6: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке ?;? — центр одной из окружностей; ?? — их общая внешняя касательная; ? — вторая точка пересечения ?? и окружности. Известно, ∠???=116∘.
Найдите градусную меру угла ∠???.
Задание 6.2: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке ?; ? —— центр одной из окружностей; ?? —— их общая внешняя касательная; ? —— вторая точка пересечения ?? и окружности. Известно, что ∠???=126∘. Найдите градусную меру угла ∠???.
Задание 6.3: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке ?; ? —— центр одной из окружностей; ?? —— их общая внешняя касательная; ? —— вторая точка пересечения ?? и окружности. Известно, что ∠???=124∘. Найдите градусную меру угла ∠???.
Задание 6.4: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке ?; ? —— центр одной из окружностей; ?? —— их общая внешняя касательная; ? —— вторая точка пересечения ?? и окружности. Известно, что ∠???=118∘. Найдите градусную меру угла ∠???.
Задание 7: Квадратное уравнение ?(?)=0 имеет ровно один действительный корень ?. Оказалось, что квадратное уравнение ?(5?+1)+?(7?−5)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный ?). Найдите все возможные значения числа ?. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 7.2. Квадратное уравнение ?(?)=0 имеет ровно один действительный корень ?.Оказалось, что квадратное уравнение ?(5?+1)+?(6?−1)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный ?). Найдите все возможные значения числа ?. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 7.3. Квадратное уравнение ?(?)=0 имеет ровно один действительный корень ?.Оказалось, что квадратное уравнение ?(5?+1)+?(6?−4)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный ?).Найдите все возможные значения числа ?.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 7.4. Квадратное уравнение ?(?)=0 имеет ровно один действительный корень ?.Оказалось, что квадратное уравнение ?(3?+1)+?(5?−7)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный ?).Найдите все возможные значения числа ?.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля — УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
? Узнать ответ
Задание 8: Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 440 включительно?
? Узнать ответ
Задание 8. 2Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 220 включительно?
Задание 8.3. Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 330 включительно?
