Официальные задания и ответы пригласительного этапа по Математика 10 класс 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по каждому предмету и для каждого класса.
🦘Задания и ответы Пригласительный этап ВСОШ “Математика” 2024 для 10 класса🦘
Задание 1: У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
🔓 Узнать ответ
Задание 1.2. У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 22 метра, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 2 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
🔓 Узнать ответ
Задание 1.3. У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 25 метра, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны.
🔓 Узнать ответ
Задание 2: Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=785, (y+z)(y+z+x)=692, (z+x)(z+x+y)=973
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 2.2. Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=601 (y+z)(y+z+x)=705
(z+x)(z+x+y)=616
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 2.3. Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=591 (y+z)(y+z+x)=601
(z+x)(z+x+y)=490
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 3: У Васи было много прямоугольников размеров 1×14,1×35,1×36,1×39. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 37×37, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×36
1×39
1×35
1×14
🔓 Узнать ответ
Задание 3.2. У Васи было много прямоугольников размеров 1×26,1×39,1×40,1×43. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 41×41, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×26
1×39
1×40
1×43
🔓 Узнать ответ
Задание 3.3. У Васи было много прямоугольников размеров 1×22,1×33,1×34,1×37. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 41×41, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×22
1×33
1×34
1×37
🔓 Узнать ответ
Задание 4: 166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
🔓 Узнать ответ
Задание 4.2. 158 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
🔓 Узнать ответ
Задание 4.3. 149 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим?
🔓 Узнать ответ
Задание 5: Про выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что 𝐴𝐵=𝐴𝐶=5, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=6. Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 5.2: Про выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что 𝐴𝐵=𝐴𝐶=13, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=10. Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 5.3. Про выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что 𝐴𝐵=𝐴𝐶=10, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=12.
Какая наибольшая площадь у него может быть?
Задание 6: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке 𝐶;𝑂 — центр одной из окружностей; 𝐴𝐵 — их общая внешняя касательная; 𝐷 — вторая точка пересечения 𝑂𝐶 и окружности. Известно, ∠𝐴𝑂𝐶=116∘.
Найдите градусную меру угла ∠𝐵𝐷𝐶.
Задание 6.2: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке 𝐶; 𝑂 —— центр одной из окружностей; 𝐴𝐵 —— их общая внешняя касательная; 𝐷 —— вторая точка пересечения 𝑂𝐶 и окружности. Известно, что ∠𝐴𝑂𝐶=126∘. Найдите градусную меру угла ∠𝐵𝐷𝐶.
Задание 6.3: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке 𝐶; 𝑂 —— центр одной из окружностей; 𝐴𝐵 —— их общая внешняя касательная; 𝐷 —— вторая точка пересечения 𝑂𝐶 и окружности. Известно, что ∠𝐴𝑂𝐶=124∘. Найдите градусную меру угла ∠𝐵𝐷𝐶.
Задание 6.4: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке 𝐶; 𝑂 —— центр одной из окружностей; 𝐴𝐵 —— их общая внешняя касательная; 𝐷 —— вторая точка пересечения 𝑂𝐶 и окружности. Известно, что ∠𝐴𝑂𝐶=118∘. Найдите градусную меру угла ∠𝐵𝐷𝐶.
Задание 7: Квадратное уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет ровно один действительный корень 𝑡. Оказалось, что квадратное уравнение 𝑓(5𝑥+1)+𝑓(7𝑥−5)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный 𝑡). Найдите все возможные значения числа 𝑡. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 7.2. Квадратное уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет ровно один действительный корень 𝑡.Оказалось, что квадратное уравнение 𝑓(5𝑥+1)+𝑓(6𝑥−1)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный 𝑡). Найдите все возможные значения числа 𝑡. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 7.3. Квадратное уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет ровно один действительный корень 𝑡.Оказалось, что квадратное уравнение 𝑓(5𝑥+1)+𝑓(6𝑥−4)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный 𝑡).Найдите все возможные значения числа 𝑡.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 7.4. Квадратное уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет ровно один действительный корень 𝑡.Оказалось, что квадратное уравнение 𝑓(3𝑥+1)+𝑓(5𝑥−7)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный 𝑡).Найдите все возможные значения числа 𝑡.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 8: Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 440 включительно?
🔓 Узнать ответ
Задание 8. 2Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 220 включительно?
Задание 8.3. Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 330 включительно?