Официальные задания и ответы пригласительного этапа по Математика 9 класс 2024-2025 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по каждому предмету и для каждого класса.
🦘Задания и ответы Пригласительный этап ВСОШ “Математика” 2024 для 9 класса🦘
Задание 1: Учитель составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учитель в произведении 345612⋅653209 между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Он выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.
Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учителю?
🔓 Узнать ответ
Задание 1.2. Учитель составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учитель в произведении
36985⋅72935
между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Он выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.
Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учителю?
🔓 Узнать ответ
Задание 1.3. Учитель составляет варианты для контрольной работы. Каждый вариант устроен так: учитель в произведении
901958⋅74802
между какими-то двумя цифрами в каждом числе ставит запятую. Он выбирает варианты так, чтобы ответы во всех вариантах были различными.
Какое наибольшее число вариантов удастся выбрать учителю?
🔓 Узнать ответ
Задание 2: К правильному пятиугольнику приставили правильный треугольник. Чему равна градусная мера угла, обозначенного вопросительным знаком?
Задание 2.2: Внутри правильного девятиугольника построили правильный треугольник. Чему равна градусная мера угла, обозначенного вопросительным знаком?
Задание 2.3: Внутри правильного пятиугольника построили правильный треугольник. Чему равна градусная мера угла, обозначенного вопросительным знаком?
Задание 3: Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже.
Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты:
Задание 3.2. Прямоугольник 6×9 покрыт 18 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже.
Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты:
Задание 3.3. Прямоугольник 6×9 покрыт 20 непересекающимися прямоугольниками 1×3 (прямоугольники лежат по клеточкам). Некоторые из прямоугольников разрезания отмечены на рисунке ниже.
Как может быть покрыта отмеченная красным клетка? Выберите все возможные варианты:
Задание 4: По кругу через равные промежутки растут 846 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 200 яблонях, три — на 21.
А на скольких яблонях растёт пять яблок?
🔓 Узнать ответ
Задание 4.2. По кругу через равные промежутки растут 264 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 100 яблонях, три — на 21.
А на скольких яблонях растёт пять яблок?
🔓 Узнать ответ
Задание 4.3. По кругу через равные промежутки растут 624 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 100 яблонях, три — на 2.
А на скольких яблонях растёт пять яблок?
🔓 Узнать ответ
Задание 4.4. По кругу через равные промежутки растут 648 яблонь. Поздней осенью на каждой из них осталось 1, 2, 3, 4 или 5 яблок. Оказалось, что количества яблок на любых двух рядом растущих яблонях отличаются ровно на 1. Одно яблоко растёт на 200 яблонях, три — на 23.
А на скольких яблонях растёт пять яблок?
🔓 Узнать ответ
Задание 5: Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство
a2+6a=2b2+11b−15.
Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
Если добавили лишние пустые поля – УДАЛИТЕ ИХ перед сохранением ответа.
🔓 Узнать ответ
Задание 5.2. Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство
a2+2a=2b2+13b−8.
Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
🔓 Узнать ответ
Задание 5.3. Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство
a2+8a+20=2b2+7b
Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
🔓 Узнать ответ
Задание 5.4. Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство
a2+4a+9=2b2+9b
Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b. Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. В поля ответа вписывайте только числа, не пишите никаких лишних символов.
🔓 Узнать ответ
Задание 6: Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 3:5:1 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 90 (см. рисунок). Найдите площадь синей трапеции, отмеченной вопросительным знаком.
Задание 6.2. Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 4:5:1 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 80 (см. рисунок). Найдите площадь синей трапеции, отмеченной вопросительным знаком.
Задание 6.3. Три параллельные прямые пересекают угол и на каждой стороне высекают отрезки, которые относятся как 5:3:2 (см. рисунок). В результате образовались две трапеции. Площадь красной трапеции равна 30 (см. рисунок). Найдите площадь синей трапеции, отмеченной вопросительным знаком.
Задание 7: Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся такие натуральные числа y и z, что 2x+3y+6z=1200?
🔓 Узнать ответ
Задание 7.2. Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся такие натуральные числа y и z, что 2x+7y+14z=1400?
🔓 Узнать ответ
Задание 7.3. Сколько существует натуральных чисел x, для которых найдутся такие натуральные числа y и z, что 2x+11y+22z=4444?
🔓 Узнать ответ
Задание 8: 8100 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», …, «Восемь тысяч сто!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа ( т.е.1=12 ,4=22 , …), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 520. Сколько школьников осталось в этот момент?
🔓 Узнать ответ
Задание 8.2. 10000 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», …, «Десять тысяч!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа ( т.е.1=12 ,4=22 , …), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 720. Сколько школьников осталось в этот момент?
🔓 Узнать ответ
Задание 8.3. 6400 школьников встали в шеренгу. По команде «Рассчитайсь!» они по порядку стали называть свои номера: «Один!», «Два!», …, «Шесть тысяч четыреста!». После этого каждый, кто оказался на месте, номер которого — квадрат натурального числа ( т.е.1=12 ,4=22 , …), ушёл играть в футбол. Оставшиеся школьники повторили этот процесс: встали в шеренгу, выкрикнули номера, школьники с номерами — точными квадратами — ушли играть в футбол. Так они повторяли до тех пор, пока количество оставшихся школьников впервые не стало меньше 280. Сколько школьников осталось в этот момент?
🔓 Узнать ответ