Задания и ответы пригласительного этапа 2022 года ВОШ (Сириус) по Математике для 10 класса всероссийская олимпиада школьников, дата проведения онлайн олимпиады: 11-13.05.2022 (11-13 мая 2022 г.).
Подпишись на телеграмм канал — pndexam.me/
Приобрести задания | Приобрести задания и ответы
Задание 1
На доске написано число 111133345678. Необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число, кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
Задание 2
Число n таково, что 7n является 50-значным числом, а 71n — 52-значным. Укажите вторую с начала цифру n.
Задание 3
Основание равнобедренного треугольника в 3 раза больше диаметра вписанной в него окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
Задание 4
Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 10 коржиков и 4 плюшки, потратив менее 250 рублей, а Буся —— 3 коржика и 5 плюшек, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.
Задание 5
Некоторый квадратный трёхчлен x2−px+q имеет целые корни x1 и x2. Оказалось, что числа x1, x2 и q образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений x1.
Задание 6
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём площади треугольников ABC и ACD равны между собой. Три стороны четырёхугольника равны 5,8 и 10. Найдите все возможные значения длины четвёртой стороны.
Задание 7
Число n имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания. Оказалось, что третий делитель в 11 раз больше второго, а четвёртый на 6 больше третьего. Чему равно n?
Задание 8
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде:
«Вот тебе бумажный круг, на границе которого 501 точка. Каждую ночь ты должна один раз резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывать. Следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой можно получить многоугольник, разрезая дальше».
В какую по счёту ночь Шахерезада, как бы ни старалась, уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
