«Математическая вертикаль» – городской образовательный проект, целью которого является многоцелевая предпрофильная подготовка по математике и смежным областям.
25.01.2023 Промежуточная диагностическая работа по алгебре, теории вероятностей и статистике для 8 класса проекта «Математическая вертикаль» 2023 г..
Вариант 1
Задача 1 [1 балл] Найдите значение выражения 2 √0,25 + 3 √11 1/9.
Задача 2 [По 1 баллу за каждый пункт] Ниже даны несколько утверждений. Запишите «Да», если утверждение верно. Если же утверждение неверно, запишите «Нет» и приведите пример, опровергающий это утверждение.
А) Выражение ? − 1/ (? − 2)(? − 3) не принимает положительные значения при ? < 3.
Б) Если ? < 2 и ? < 3, то ?? < 6.
В) Если ? > 3 и ? > 5, то ?? > 15.
Г) Число ? / ? является рациональным, если ? и ? — рациональные, а ? не равно 0.
Д) Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.
Задача 3. [1 балл] Пересечение каких из указанных промежутков пусто?
1) (2; 4) ∩ (5; 7] 2) (1; 2) ∩ (2; 6] 3) [−1; 5) ∩ (4; 9] 4) (2; 5) ∩ (4; 7]
Задача 4. [2 балла] Поставьте в соответствие каждому уравнению из левого столбца
верное утверждение о его корнях из правого столбца.
| КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ | УТВЕРЖДЕНИЯ О КОРНЯХ УРАВНЕНИЯ |
| А) ?2 − 2? + 4 = 0 Б) ?2 + 10? + 21 = 0 В) ?2 − 11? + 24 = 0 Г) ?2 + 14? + 40 = 0 4) уравнение не имеет корней Д) ?2 − 9? − 22 = 0 | 1) оба корня уравнения положительны 2) оба корня уравнения отрицательны 3) корни уравнения имеют разные знаки 4) уравнение не имеет корней |
Задача 5. [2 балла] Какое из указанных множеств является решением неравенства 3? − 2 (? − 5) ⩽ −6?
1) [4; +∞) 2) (−∞; 4] 3) (−∞; −16] 4) [−16; +∞)
Алгебра. Часть с развёрнутыми решениями
В задачах 6–8 необходимо записать полное решение.,
Задача 6. [3 балла] Группа туристов в предстоящем походе планирует ежедневно преодолевать одно и то же расстояние. Если туристы будут проходить в день на 4 км больше, чем запланировано, то они пройдут за 5 дней не меньше 80 км. Если же они будут проходить в день на 4 км меньше, чем запланировано, то за 10 дней пройдут не больше 80 км. Сколько километров в день планируют проходить туристы?
Задача 7. [По 2 балла за каждый пункт] Решите уравнение:
а) 2?2 + 3? − 9 = 0; б) 4? + 12 − ?2 = 0.
Задача 8. [4 балла] Найдите все значения параметра ?, при каждом из которых
уравнение (? − 1)?2 + 2?? + 3 + ? = 0 имеет единственный корень.
Теория вероятностей и статистика. Тестовая часть
В задачах 9–11 достаточно написать ответы.
Задача 9. [По 1 баллу за каждый пункт] Даны два числовых множества:
? = {2; 3; 4; 6; 7; 8; 10; 11; 12} и ? = {1; 3; 5; 7; 9}.
а) Сколько элементов содержит множество ? ∩ ??
б) Запишите перечислением элементов объединение ? ∪ B
Задача 10. В случайном опыте правильную игральную кость бросают два раза.
а) [2 балла] Укажите в таблице элементарные события, благоприятствующие событию «сумма выпавших очков кратна 4».
б) [1 балл] Найдите вероятность этого события
Задача 11. [3 балла] Дисперсия числового набора равна 4. Каждое число набора умножили на 2,5, а затем увеличили на 3. Найдите дисперсию полученного набора.
Теория вероятностей и статистика. Часть с развёрнутыми решениями
В задаче 12 необходимо записать полное решение.
Задача 12. [4 балла] За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке садятся
11 человек. Среди них двое с одинаковым именем — тёзки. Какова вероятность того,
что при случайной рассадке тёзки не окажутся за столом рядом?