«Математическая вертикаль» – городской образовательный проект, целью которого является многоцелевая предпрофильная подготовка по математике и смежным областям.
17.01.2023 Промежуточная диагностическая работа по алгебре и началам анализа, вероятности и статистике для 11 класса проекта «Математическая вертикаль ПЛЮС» 2023 г.
Вариант 1
1. (1 балл за каждый пункт) Найдите производные функций а) f(x) = 4×6√x + 1; б) g(x) = 1/3 2^1−x
в) h(x) = ln(2x − 0,3).
2. (1 балл) На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите f′(x0).
3. Отметьте все верные утверждения про f(x) = x3 − 2×2 + x − 5. Если утверждение неверно, приведите соответствующее обоснование.
а) f(x) возрастает на ( −∞;1/3] ∪ [1; +∞);
б) f(x) убывает на (1/2;1)
в) f(x) имеет локальный минимум в точке x0 = 1;
г) наибольшее значение f(x) на отрезке [0; 2] равно −4 23/27 ;
д) f(x) является первообразной некоторого квадратного трёхчлена
4.Найдите R 2π π/2 (3 sin x − 2) dx
5.На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите R 6 3 f(x) d
6.(2 балла) Напишите уравнение касательной к графику y = x2+6x−5/x в точке с абсциссой x0 = −2.
7.(2 балла) Докажите, что функции F1(x) = x2 + arcsin x+ 2023 и F2(x) = x2 −arccos x−2 являются
первообразными одной и той же функции.
8.а) (2 балла) Решите уравнение sin 2x + cos2 (x +π/2)=1
б) (1 балл) Укажите корень этого уравнения, ближайший к π.
9.(1 балл) Выбирают случайное четырёхзначное число. Какова вероятность того, что в нём есть хотя бы одна цифра 5?
10.(2 балла) Случайная величина X имеет математическое ожидание 8 и дисперсию 4. С помощью
неравенства Чебышева найдите верхнюю оценку вероятности события |X − 8| ≥ 6.
11.(3 балла) В светодиодной лампе нет изнашивающихся деталей, поэтому можно считать, что вероятность того, что она перестанет работать в течение года – одна и та же вне зависимости от
того, сколько лет она уже прослужила. Известно, что некоторая новая светодиодная лампа откажет в течение первого года службы с вероятностью 0,2. В люстре установлены четыре такие одинаковые лампы. Какова вероятность того, что через год работать будут хотя бы три из них?
12. (по 2 балла за каждый пункт) На тренировке баскетболист бросает мяч в кольцо десять раз. При каждом броске вероятность попадания равна 0,6 независимо от результатов предыдущих бросков.
а) Найдите вероятность события «ровно два попадания в трёх первых бросках».
б) Какое событие и во сколько раз более вероятно: «ровно 7 попаданий» или «ровно 8 попаданий»