«Математическая вертикаль» – городской образовательный проект, целью которого является многоцелевая предпрофильная подготовка по математике и смежным областям.
Вариант 1
1. Про каждое из следующих утверждений запишите в поле ответа «Да», если
оно верно, и «Нет», если неверно. Для каждого ответа «Нет» нарисуйте пример, опровергающий утверждение, отметив на рисунке всё необходимое
а) [1 балл] Если два угла трапеции равны, то она равнобедренная.
б) [1 балл] Ромб, который можно вписать в окружность, является квадратом.
в) [1 балл] Если в каждом из двух прямоугольных треугольников один катет втрое больше другого
катета, то их периметры отличаются в 3 раза.
г) [1 балл] Если средняя линия перпендикулярна медиане треугольника, то он равнобедренный.
2. Постройте треугольник, для которого отмеченные точки являются серединами его сторон
3. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 9. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна одному из оснований, а другое основание в два раза меньше.
4. Определите, какая часть отрезка AB находится внутри квадрата на рисунке?
5. На рисунке изображён квадрат и проведены отрезки. Два отмеченных угла равны 18°. Найдите неизвестный угол α.
6. Вершины ромба находятся в узлах клетчатой сетки. Две из них отмечены точками A и B. Отметьте все узлы сетки в пределах рисунка, где может находиться ещё одна вершина ромба
7. Человек ростом 180 см отошёл от трёхметрового фонаря на расстояние 2 м. Определите длину тени человека в освещении этого фонаря.
8. Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и равны. Докажите, что середины остальных его сторон образуют параллелограмм.
9. В параллелограмме ABCD на стороне AD отметили середину M и на стороне CD точку K так, что CK = 7, KD = 2. Найдите длину отрезка BK, если известно, что угол BMK прямой.
Вариант 2
1.Про каждое из следующих утверждений запишите в поле ответа «Да», если оно верно, и «Нет», если неверно. Для каждого ответа «Нет» нарисуйте пример, опровергающий утверждение, отметив на рисунке всё необходимое.
а) [1 балл] Если все стороны четырёхугольника равны, то он параллелограмм.
б) [1 балл] Параллелограмм, имеющий две оси симметрии, является прямоугольником.
в) [1 балл] Если равнобедренные треугольники с основаниями 5 и 7 подобны, то их периметры отличаются в 1,4 раз.
г) [1 балл] Если отрезок соединяет точки на сторонах треугольника и делит их в отношении 1 : 2, то
он параллелен третьей стороне треугольника.
2.Постройте треугольник, для которого отмеченные точки являются серединами его сторон.
3. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 10. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна одному из оснований, а другое основание в полтора раза больше.
4. Определите, какая часть отрезка AB находится внутри квадрата на рисунке?
5. На рисунке изображён квадрат, два отмеченных отрезка равны и один из отмеченных углов равен 74°. Найдите неизвестный угол α.
6. Вершины ромба находятся в узлах клетчатой сетки. Две из них отмечены точками A и B. Отметьте все узлы сетки в пределах рисунка, где может находиться ещё одна вершина ромба.
7. Человек ростом 160 см отошёл от четырёхметрового фонаря на расстояние 1,5 м. Определите длину тени человека в освещении этого фонаря
8. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
9. В параллелограмме ABCD на стороне CD отметили середину M и на стороне AD точку K так, что AK = 5, KD = 3. Найдите длину отрезка BK, если известно, что угол BMK прямой.