Разбор Олимпиады «ВСОШ» по Математике 11 класс, школьный этап для г. Москвы 77 регоион на 14.10.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для 11 класса. Материалы являются официальными взяты с online.olimpiada.ru в ознакомительных целях
Олимпиада ВСОШ по Математике 14.10.2025 г.
Ответы к вопросам 11 класс
Задание 1. Дана арифметическая прогрессия {an}, такая, что a1+a2=11, a1+a2+a3+…+a8=164.
Ответ: a=3. Разность прогрессии 5
Задание 2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом составляет из них число вида ab¯¯¯¯¯cd¯. С какой вероятностью это число делится на 3?
Выражение ab¯¯¯¯¯ обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
Ответ: 3/8
Задание 3. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E пересечение лучей AD и BC и точку F пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD=DE, ∠AEB=51∘ и угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 2:5 Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1⩽a<b⩽100 и ⌊a√⌋+⌈b√⌉=⌈a√ ⌉+⌊b√⌋. Напомним, что ⌊x⌋обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x?, а ⌈x⌉ наименьшее целое число, большее или равное x.
→ Раскрыть ответ
Задание 5. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3×100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
→ Раскрыть ответ
Задание 5. Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Задание 6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен −5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат.
Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
Найдите произведение корней второго трёхчлена.
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен — 3. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
→ Раскрыть ответ
Задание 7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, в или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ба. Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
→ Раскрыть ответ
