Олимпиада «Сириус» ответы, вопросы по Математике 11 класс, школьный этапа Всероссийской олимпиады 1 группа от 15 октября 2025 года. Официальный вариант с вопросами на логику, головоломки.
Школьный этап Сириус по Математике для 1-ой группы 15 октября 2025 г.
Вопросы и ответы 11 класс
Задание 1. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1⩾a2⩾…⩾a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди ai чисел, больших или равных 1, сколько больше или равных 2и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать 0 0 . Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 4, 2 , 2 , 1 , 1 . Какая последовательность была записана на доске?
→ Раскрыть ответ
Задание 2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?
→ Раскрыть ответ
Задание 3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20 % монет справа среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
→ Раскрыть ответ
Задание 4. На сторонах AC и BC , а также на продолжении стороны AB равностороннего треугольника ABC отмечены точки F , D и E соответственно так, что D середина EF . Длины отрезков BD и DC приведены на рисунке.
Найдите EF2.
→ Раскрыть ответ
Задание 5. Коэффициенты многочлена P(x) неотрицательные целые числа. Известно, что
P(2)=100P(2)=100,
P(P(2))=102041522.
Найдите значение P(0).
Найдите значение P(1).
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 69 . Затем Петя называет своё число от 1 до 51 . После этого Наташа называет число от 1 до 54 . Если сумма всех трёх названных чисел делится на 68, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 7. Пусть x, y, z такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства:
- xlog2(yz)=212⋅58,
- ylog2(zx)=26⋅52,
- zlog2(xy)=210⋅510.
Найдите значение произведения xyz Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 1.5 метра. Пусть прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке O на той же плоскости, причём проекция O на l совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки O до точки l на рисунке.
При разных значениях d число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны.
Башня T полностью видна, если отрезки касательных из точки O до башни T не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
→ Раскрыть ответ
