Разбор заданий: ответы к Олимпиаде ВСОШ по Математике 8 класс, муниципальный этап для Республики Дагестан на 05.12.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для 8 класса. Материалы являются официальными взяты и опубликованы в ознакомительных целях
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 8 класс
Задание 1. . В некотором посёлке все 300 восьмиклассников писали полугодовую контрольную работу по математике. Из тех, кто готовился к контрольной работе, 80% написали её на оценки «4» и «5». Из тех, кто не готовился к контрольной работе, 20% написали её на оценки «4» и «5». В итоге всего 41% восьмиклассников написали контрольную на оценки «4» и «5». Сколько процентов восьмиклассников готовились к контрольной работе?
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Подруги Амина, Марьям и Фатима учатся в лингвистической гимназии, каждая из них изучает ровно два языка из следующих шести (при этом нет языка, который одновременно изучают хотя бы две школьницы): арабский, испанский, китайский, турецкий, французский, японский. Известно, что: (1) уроки японского и арабского языков в расписании стоят одновременно с уроком, на который ходит Фатима; (2) школьница, которая учит арабский, предпочла его испанскому; (3) Амина младше обеих своих подруг, школьница, изучающая французский, – средняя по возрасту, а школьница, изучающая японский, – самая старшая; (4) в пятницу после урока математики Амина ждёт одну свою подругу с урока китайского, а другую – с урока французского. Какие языки изучает каждая из школьниц? (Ответ необходимо обосновать, то есть указать подробные рассуждения, которые к нему привели.)
→ Раскрыть ответ
Задание 3. Государственный автомобильный номер в России представляет собой последовательность из нескольких символов, в которой сначала записывается буква, затем три цифры, затем ещё две буквы, и в конце – код региона. При этом цифры могут быть любые от 0 до 9, а букв, которые можно использовать, всего 12 (А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х). В Дагестане для автомобильных номеров используются два кода региона: 05 и 105. Сулейман пришёл регистрировать автомобиль в ГИБДД республики Дагестан и он хочет, чтобы ему выдали «симметричный» госномер, то есть такой, в котором первая и третья цифры одинаковые, а также первая и третья буквы одинаковые. Какова вероятность того, что он получит такой номер? (Считайте, что номера выдаются случайным образом и получение каждого равновероятно.)
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Известно, что ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐵𝐴, 𝐴𝐵 = 𝐶𝑃 и 𝐴𝐷 = 𝐵𝑃. Докажите, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 – трапеция. (Напомним, что трапеция – это выпуклый четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – не параллельны.)
→ Раскрыть ответ
Задание 5. Случайным образом выбираются 𝑁 чисел из ряда 1, 2, 3, …, 100. При каком наименьшем 𝑁 можно гарантировать, что среди выбранных чисел найдутся два числа, сумма которых кратна 10?
→ Раскрыть ответ
