Промежуточная диагностическая работа “Математическая вертикаль” по геометрии 10 класс проект математическая вертикаль 2 варианта заданий с ответами и критериями, официальная дата проведения работы: 19 декабря 2023 год.
?Пригласительная работа в проект «Математическая вертикаль» для 10 класса 2023 г.
?Приобрести задания и ответы
1. Из треугольной призмы вырезали многогранник KLMNOP, показанный на рисунке.
а) [1 балл] На какое количество частей распадётся эта призма?
б) [2 балла] Выберите часть с наибольшим количеством граней-многоугольников и запишите их количество. Вырезанный многогранник при подсчёте частей и граней не учитывается!
2. [за каждый правильный ответ — 1 балл, за неправильный — снимается 1 балл] Про каждое из следующих утверждений определите, верно оно или нет:
а) Любое сечение куба является многоугольником, у которого не больше семи сторон.
б) Если две прямые в пространстве не параллельны, то они пересекаются.
в) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
г) Через любые две прямые в пространстве можно провести ровно одну плоскость.
3. [2 балла] В четырёхугольной призме постройте точку пересечения прямой AM с плоскостью (A1B1C). Опишите алгоритм соответствующего построения. Дано: Призма ABCDA1B1C1D1, точка M BC1. Построить: Пересечение прямой AM и плоскости (A1B1C).
4. [2 балла] В треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны. Постройте сечение призмы плоскостью (KDM). В каком отношении она делит ребро AВ?
Опишите алгоритм соответствующего построения. Запишите в ответе искомое соотношение, не приводя доказательства.
Дано: Призма ABCA1B1C1, всё рёбра равны. AK : KA1 = 2 : 1, BM : MC = 1 : 2, С1D =DC . Построить: Cечение призмы плоскостью (KDM).
5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели высоты AN и BM. Известно, что BN : NC = 4 : 1. а) [2 балла] Найдите отношение, в котором AN делит высоту BM. б) [3 балла] Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 30.
6. В треугольной пирамиде SABC все рёбра в основании равны, а все остальные рёбра в два раза длиннее. На рёбрах AB и SB отмечены соответственно точки N и K такие, что AN : NB = 5 : 1, SK : KB = 2 : 1.
а) [2 балла] Докажите, что плоскость, проходящая через точки K и N параллельно ребру BC, пересекаетпирамиду так, что в сечении образуется трапеция, основания которой относятся как 4 : 5.
б) [4 балла] Найдите площадь этого сечения, если AB = 12.
1. Из параллелепипеда вырезали многогранник KLMNOD, показанный на рисунке.
а) [1 балл] На какое количество частей распадётся этот параллелепипед?
б) [2 балла] Выберите часть с наибольшим количеством граней-многоугольников и запишите их количество. Вырезанный многогранник при подсчёте частей и граней не учитывается!
2. [за каждый правильный ответ — 1 балл, за неправильный — снимается 1 балл] Про каждое из следующих утверждений определите, верно оно или нет:
а) Если сечение куба проходит через его вершину, то оно является треугольником.
б) Если прямая l пересекает плоскость, то в этой плоскости не найдётся прямой, параллельной l.
в) Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и другой плоскости.
г) Если прямые a и b лежат в одной плоскости и прямые b и c лежат в одной плоскости, то прямые a и c также лежат в одной плоскости.
3. [2 балла] В четырёхугольной призме постройте точку пересечения прямой KL с плоскостью (ABC1). Опишите алгоритм соответствующего построения.
Дано: Призма ABCDA1B1C1D1, точка K Î A1B1, точка L Î DC. Построить: Пересечение прямой KL и плоскости (ABC1).
4. [2 балла] В треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны. Постройте сечение призмы плоскостью (KDM). В каком отношении она делит ребро A1C1?
Опишите алгоритм соответствующего построения. Запишите в ответе искомое соотношение, не приводя доказательства.
Дано: Призма ABCA1B1C1, всё рёбра равны. A1D : DB1 = 2 : 3, CK : KC1 = 2 : 3, BM = MB1. Построить: Cечение призмы плоскостью (KDM).
5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели высоты AN и BM. Известно, что AN делит BM в отношении 5 : 2, считая от вершины B.
а) [2 балла] Найдите отношение, в котором AN делит сторону BC.
б) [3 балла] Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 16√14.
6. В треугольной пирамиде SABC все рёбра в основании равны, а все остальные рёбра в два раза длиннее. Точка K является серединой ребра SB. На ребре AB отмечена точка N так, что AN : NB = 3 : 1. а) [2 балла]
Докажите, что плоскость, проходящая через точки K и N параллельно ребру BC, пересекает пирамиду так, что в сечении образуется трапеция, основания которой относятся как 2 : 3. б) [4 балла] Найдите площадь этого сечения, если AB = 8.