Решения заданий и ответы для муниципального этапа ВСОШ по Математике (10 класс) 2024/25 учебного года для Москвы, проводимого 06 декабря 2024 года на платформе МЭШ/Сириус.
ВсОШ Муниципальный этап по Математике
Задания 10 класс
1. (4 балла) Действительные числа a1,a2,…,a90 образуют арифметическую прогрессию.
Чему равно a2+a5+a8+…+a89, если a1+a2+a3+…+a90=3000?
→ Узнать ответ
2. (4 балла) Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:
- в его десятичной записи все цифры ненулевые
- сумма его цифр равна 32
- любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр
Найдите наименьшее хорошее число.
→ Узнать ответ
3. Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
а) (2 балла) Найдите вторую сторону прямоугольника.
б) (2 балла) Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
→ Узнать ответ
4. (4 балла) Приведённые квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что каждое из чисел 0,4,6,8,9,12 является корнем одного из трёхчленов P(x), Q(x) P(x)+Q(x). Чему равно P(0)+Q(0)?
Напомним, что квадратный трёхчлен ax2+bx+c называется приведённым, если a=1.
→ Узнать ответ
5. На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км.
Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
а) (1 балл) За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день?
б) (3 балла) На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму в рублях Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?
→ Узнать ответ
6. (4 балла) Дан четырёхугольник ABCD, причём AD=BC, ∠DAC=97∘, ∠CBD=83∘ и ∠BCD=65∘.
Найдите ∠ACD (ответ дайте в градусах).
→ Узнать ответ
7. Школьный актовый зал представляет из себя квадрат 11×11. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?
→ Узнать ответ
8. Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального nn выполнено f(n+1)>f(n)и f(f(n))=3n.
а) (1 балл) Найдите f(10).
б) (3 балла) Найдите f(2024).
→ Узнать ответ
