Официальные материалы задания, ответы на Математический олимп «Вершина» в 2024-2025 г. У нас Вы найдете разборы заданий для 5,6,7,8,9,10 классов по математике
Задания и ответы Математический олимп «Вершина»
5 класс
Задание 1: Представлен ряд натуральных чисел от 24 до 2024. Сколько всего цифр написали?
→ Узнать ответ
Задание 2: Дима работает курьером в интернет-магазине. Ему нужно развезти четыре коробки с товаром общей массой 20 кг, причём каждая следующая коробка в три раза тяжелее предыдущей. Найдите массу самой тяжёлой коробки. Ответ выразите в граммах.
→ Узнать ответ
Задание 3: Прямоугольник разрезали на пять одинаковых квадратов (длина прямоугольника в 5 раз больше его ширины). Сумма периметров квадратов равна 2025 см. Найдите периметр исходного прямоугольника. Ответ дайте в см.
→ Узнать ответ
Задание 4: У Матвея новая курточка с 4 карманами. Он положил в один карман несколько конфет и подумал: «Возьму-ка ещё конфеты и угощу ими друзей». Матвей взял ещё 28 конфет и разложил их по четырём карманам так, что в каждом кармане стало в два раза больше конфет, чем он положил в первый карман первоначально. Сколько конфет стало лежать в каждом кармане
→ Узнать ответ
Задание 5: На сказочном острове по понедельникам, средам и субботам всегда пасмурно, в остальные дни стоит солнечная погода. Семья Маши планирует поехать отдыхать на сказочный остров на 23 дня. Утром какого дня недели им нужно попасть на остров, чтобы «захватить» как можно больше солнечных дней? В ответ запишите порядковый номер дня недели: если понедельник, то 1, если вторник, то 2 и т.д.
→ Узнать ответ
Задание 6: В школе 134 ученика пятых классов. В 5 «А» и 5 «Б» в общей сложности учатся 56 человек, в 5 «Б» и 5 «В» — 53 человека, 5 «В» и 5 «Г» — 54 человека, в 5 «Г» и 5 «Д» — 50 человек. Сколько человек учатся в 5 «В» классе?
→ Узнать ответ
Задание 7: Цифру 8, с которой начиналось четырёхзначное число, переставили в конец числа. Получили число, на 4257 меньше первоначального. Запишите в ответе первоначальное число.
→ Узнать ответ
Задание 8: На столе в учительской лежали 7 стопок тетрадей: 8 тетрадей, 11 тетрадей, 12 тетрадей, 16 тетрадей, 17 тетрадей, 19 тетрадей и 21 тетрадь. Петя и Ира взяли шесть стопок тетрадей (не перекладывая тетради из стопок). Петя взял в четыре раза больше тетрадей, чем Ира. Сколько тетрадей было в стопке, которая осталась лежать на столе?
→ Узнать ответ
Задание 9: В школьной команде по микрофутболу три игрока: один вратарь и два полевых игрока. Сколькими способами можно создать команду из пяти школьников?
→ Узнать ответ
Задание 10: Круглый торт разрезали четырьмя прямыми разрезами от края до края. Какое наибольшее количество частей могло при этом получиться?
→ Узнать ответ
6 класс
Задание 1: На стройку необходимо доставить 8 плит массами 6 т, 6 т, 5 т, 4 т, 2 т, 2 т, 2 т и 1 т. Для доставки используют машину грузоподъёмностью 7 т. Какое наименьшее количество рейсов необходимо выполнить машине для транспортировки плит на стройку?
→ Узнать ответ
Задание 2: Скорость лодки по течению в 1,5 раза больше скорости против течения. Во сколько раз скорость лодки против течения больше скорости течения?
→ Узнать ответ
Задание 3: Настя отвечает на вопросы викторины. Когда она ответила на 15 вопросов, то процент правильных ответов был равен 60%. Когда она ответила еще на 10 вопросов, её результат улучшился до 76%. Сколько правильных ответов дала Настя, отвечая на последние 10 вопросов?
→ Узнать ответ
Задание 4: Сколько различных натуральных четырёхзначных чисел можно составить, используя только цифры 0, 4, 7 и 9 (цифры в числе могут повторяться)?
→ Узнать ответ
Задание 5: В школе прошла игра «Выборы президента». На пост президента выдвинули свои кандидатуры четыре ученика старших классов. Избирательная комиссия сообщила итоги голосования. Кандидаты Максим и Андрей вместе набрали 42% голосов избирателей, причём Андрей набрал в пять раз больше голосов, чем Максим. Голоса, которые набрали Иван и Лиза, распределились в отношении 16:13. Андрей набрал на 48 голосов больше, чем Иван. Сколько голосов набрал победитель выборов?
→ Узнать ответ
Задание 6: Тюбика краски хватает на покраску 1,7 м2 поверхности. Сколько тюбиков краски нужно взять, чтобы покрасить куб со стороной 2 м?
→ Узнать ответ
Задание 7: Два друга отправляются из школы одновременно в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 2 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между друзьями станет равным 400 метрам?
→ Узнать ответ
Задание 8: На какую цифру заканчивается число 765432·765432·765432·…·765432, если произведение состоит из 234567 чисел?
→ Узнать ответ
Задание 9: Дима загадал трёхзначное число, в записи которого нет цифры 0. Далее он записал второе число, полученное из первого перестановкой цифр в разрядах сотен и единиц. А далее он вычел из первого числа второе. Какое наибольшее число мог в итоге получить Дима?
→ Узнать ответ
Задание 10: Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша — фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и фантики, и бантики делала в 4 раза быстрее Маши. Бантиков они изготовили поровну, а фантиков вместе изготовили 850 штук. Сколько фантиков изготовила Маша?
→ Узнать ответ
7 класс
Задание 1: Известно, что 2025a−b/a=2024. Найдите 2025a+b/b и запишите ответ.
→ Узнать ответ
Задание 2: Во сколько раз сумма чисел 1817 и 1909 больше, чем наибольший общий делитель этих чисел?
→ Узнать ответ
Задание 3: Турист вышел на прогулку. Вначале он прошёл 6 км со скоростью 2 км/ч, затем полчаса отдохнул, а затем вернулся обратно со скоростью 4 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста за всё время прогулки. Ответ дайте в км/ч.
→ Узнать ответ
Задание 4: В волшебном лесу живут зайцы и лисы, которые дружат между собой. Каждый заяц дружит с тремя лисами, а каждая лиса — с пятью зайцами. Зайцев в лесу на 10 больше, чем лис. Сколько лис живёт в лесу?
→ Узнать ответ
Задание 5: Сколько существует пар натуральных чисел (x;y), таких, что 3x+4y=100?
→ Узнать ответ
Задание 6: Маша занимается в секции лёгкой атлетики. Сегодня на спортивных соревнованиях ей удалось улучшить свой предыдущий результат на 1 минуту в беге на дистанции 1,2 км. В прошлый раз она бежала со скоростью 4 м/с. Найдите скорость Маши, с которой она пробежала сегодня дистанцию, ответ выразите в километрах в час.
→ Узнать ответ
Задание 7: Найдите угол (в градусах) между часовой и минутной стрелками в 19 часов 38 минут.
→ Узнать ответ
Задание 8: Андрей получил задание к следующему уроку литературы прочитать повесть. В первый день он прочитал 20% всех страниц и ещё 2 страницы. Во второй день — 50% оставшихся страниц и ещё 1 страницу. В третий — 25% остатка и ещё 3 страницы. Последние 18 страниц он прочитал в четвёртый день. Сколько всего страниц прочитал Андрей?
→ Узнать ответ
Задание 9: Вычислите 1/1⋅2+1/2⋅3+1/3⋅4+1/4⋅5+…+1/39⋅40 Ответ запишите в виде десятичной дроби.
→ Узнать ответ
Задание 10: Каким количеством нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 2025?
→ Узнать ответ
8 класс
Задание 1: Про число a известно, что оно составляет 80% от произведения чисел a и b. Найдите число b.
→ Узнать ответ
Задание 2: В магазин привезли 3 т груш первого сорта, 4 т второго сорта и 2 т третьего. Цена 1 кг груш второго сорта на 50 рублей меньше цены груш первого сорта и на 70 рублей больше цены груш третьего сорта. Какова цена 1 кг груш первого сорта, если общая стоимость всех груш равна 2710000 рублей? Ответ дайте в рублях.
→ Узнать ответ
Задание 3: Пусть A множество делителей числа 15, B множество простых чисел, меньших 12, C множество чётных чисел, меньших 10, причём, множества A,B,C состоят из натуральных чисел. Найдите все числа, являющиеся элементами множества (A∪C)∩B
→ Узнать ответ
Задание 4: Как известно, конь в шахматах «бьёт» поля буквой Г. На рисунке показано, что данный конь может «бить» 8 клеток. Дана шахматная доска размером 5×5. Какое максимальное количество коней можно на неё поставить, чтобы они не «били» друг друга?
Задание 5: Найдите два трёхзначных числа, сумма которых кратна 486, а частное кратно 8. В ответ запишите большее из этих трёхзначных чисел.
→ Узнать ответ
Задание 6: Решите в натуральных числах уравнение m2=55+n2.В ответ запишите сумму полученных значений m.
→ Узнать ответ
Задание 7: У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Сколько учеников у старого художника?
→ Узнать ответ
Задание 8: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1 пересекающиеся в точке H. Известно, что ∠HAC=30∘,AB=5 Найдите угол BCA Ответ дайте в градусах.
→ Узнать ответ
Задание 9: В 99 кг ягод содержалось 99% воды. Ягоды поставили на солнце, и вскоре воды в них стало 97%. Сколько килограммов воды испарилось из ягод?
→ Узнать ответ
Задание 10: Сколько различных решений имеет система уравнений
9 класс
Задание 1: Ира, Вера и Полина зашли в ресторан «Вкусно — и точка» и купили две коробки наггетсов по 240 рублей за коробку (в коробке лежат 9 наггетсов). Ира заплатила 200 рублей, Вера 280 рублей, а потом они втроём съели все наггетсы. Расходы решили разделить поровну. Сколько рублей Полина должна отдать Вере?
→ Узнать ответ
Задание 2: Найдите сумму натуральных значений переменной x, удовлетворяющих условию ∣x−3∣=3−x
→ Узнать ответ
Задание 3: Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
→ Узнать ответ
Задание 4: Даны функции
Задание 5: Решите неравенство 4x≤4−x В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [−6;6].
→ Узнать ответ
Задание 6: Дан равносторонний треугольник ABC Провели прямую, которая пересекла сторону треугольника AB в точке C1 сторону в точке A1 а продолжение стороны AC в точке B1. Известно, что AC1C1B=BA1A1C=52 Найдите значение ACCB1.CB1
→ Узнать ответ
Задание 7: Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
→ Узнать ответ
Задание 8: В треугольнике ABC проведены биссектриса AL и медиана AM. Найдите длину отрезка LM если AB=4,BC=5,AC=6.
→ Узнать ответ
Задание 9: Решите уравнение x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x−3y.
м
Задание 10: Соне в три раза больше лет, чем было Боре тогда, когда Соне было столько лет, сколько Боре сейчас. Когда Боре будет столько лет, сколько Соне сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет Соне?
→ Узнать ответ
10 класс
Задание 1: Бесконечную десятичную дробь 0,1777777… (бесконечное число семёрок) представьте в виде обыкновенной несократимой дроби a/b. В ответе запишите величину a+b.
→ Узнать ответ
Задание 2: Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл 4% примесей. Сколько тонн металла получится из 480 тонн руды?
→ Узнать ответ
Задание 3: Чему равен угол между прямыми BA1 и B1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1? Ответ дайте в градусах.
→ Узнать ответ
Задание 4: Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт в остатке 1, а при делении на 9 даёт в остатке 3.
→ Узнать ответ
Задание 5: В офисе работают 7 сотрудников: 4 женщины и 3 мужчины. Из них случайным образом выбирают трёх сотрудников, которые поедут на фестиваль. Какова вероятность, что на фестиваль поедут три женщины? Ответ округлите до сотых.
→ Узнать ответ
Задание 6: Функция f(x) такова, что для любого xx выполняется условие f(2−3x)=x−1.
Найдите корень уравнения f(x)=2.
→ Узнать ответ
Задание 7: В треугольнике ABC проведены медианы AE и CD, пересекающиеся в точке O. Площадь треугольника ABC равна 72. Найдите площадь треугольника AOC.
→ Узнать ответ
Задание 8: Найдите сумму натуральных значений переменной x, удовлетворяющих неравенству 5∣2∣x−5∣−x−2∣≥7x.
→ Узнать ответ
Задание 9: При каких значениях параметра aa уравнение x2−(a+1)x+a/x+a−4=0 имеет единственное решение? Если таких значений aa несколько, то в ответе запишите их сумму.
→ Узнать ответ
Задание 10: Решите систему уравнений
В ответе запишите значение величины x4+y4.
→ Узнать ответ
