На официальном сайте Всероссийской олимпиады школьников представлены задания и ответы школьного этапа олимпиады по Математике для учеников 10 классов, группа 3, запланированный на 20 октября 2022 года. Получите доступ к полной информации о заданиях, проверьте свои знания и подготовьтесь к успешному выступлению на олимпиаде. Участвуйте и достигайте новых успехов в области информатики!
🔗Список заданий “Сириус” по Математике 10 класс – 3 группа🔗
1. В комоде лежат 17 носков: 5 белых и 12 чёрных. Раз в минуту Марина подходит к комоду и вытаскивает из него носок. Если в какой‑то момент Марина достаёт суммарно больше чёрных носков, чем белых, она восклицает: «Наконец‑то!» — и заканчивает процесс.
Какое наибольшее число носков может достать Марина, прежде чем воскликнет: «Наконец‑то!»? В ответе учитывается носок, который Марина достала последним.
2.Слитки высокообогащённого урана необходимо помещать на хранение таким образом, чтобы расстояние до ближайшего слитка было как можно больше. Если подходящих мест несколько, выбирается любое из них. К сожалению, никто не знает, сколько слитков нужно будет хранить. Слитки прибывают по одному. После помещения на хранение слиток нельзя передвигать.
Пустой складской комплекс имеет 121 камеру хранения, все помещения расположены в один ряд. Первый прибывший слиток кладут в комнату 1, а второй, согласно рекомендациям, кладут в помещение 121.
В каком помещении может оказаться 6‑й прибывший брусок? Укажите все возможные варианты ответа.
3.Натуральное число n таково, что n+3 делится на 3, а n+4 делится на 4. Какие из следующих утверждений гарантированно верны, т.е. выполняются для всех n, подходящих под условие?
n+5 делится на 5
n+6 делится на 6
n+7 делится на 7
n+8 делится на 8
4.На описанной окружности квадрата ABCD отмечена точка M такая, что ∠MAB=18∘. Отрезок MD пересекает диагональ AC в точке Q.
Какие значения может принимать величина угла ∠AQD? Ответ выразите в градусах. Укажите все возможные варианты ответа.
5.Сторона квадрата ABCD равна 12. На стороне CD отмечена точка E, а внутри квадрата — точка P так, что PE⊥CD, а AP=PB=PE.
Найдите длину отрезка AP. Если необходимо, ответ округлите до сотых.
6.Окружность k1 радиуса 8 см лежит внутри окружности k. Обе окружности пересекают окружность k2 радиуса 15 см, как показано на рисунке. Чему равен радиус k, если заштрихованная площадь внутри k, но вне k1, равна общей площади заштрихованных областей внутри k2? Ответ выразите в сантиметрах, если необходимо, округлите до сотых.
7.Строителям нужно выложить пол в небольшом домике маленькими квадратными плитками.
Заказчик говорит, что предпочтительней вариант, в котором красных плиток больше. Для вариантов с одинаковым количеством красных плиток предпочтительней тот, в котором больше оранжевых; и вообще, предпочтения заказчика по цветам: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, синий, индиго.
Его жена же хочет совершенно наоборот:
плиток цвета индиго должно быть хотя бы столько, сколько красных, оранжевых, жёлтых, зелёных и синих вместе взятых;
плиток синего цвета — хотя бы столько, сколько красных, оранжевых, жёлтых и зелёных вместе взятых;
плиток зелёного цвета — хотя бы столько, сколько красных, оранжевых и жёлтых вместе взятых;
плиток жёлтого цвета — хотя бы столько, сколько красных и оранжевых вместе взятых;
плиток оранжевого цвета — хотя бы столько, сколько красных.
На пол нужно 110 плиток.
Сколько плиток жёлтого цвета потребуется, если взять наиболее предпочтительный для заказчика вариант, который также удовлетворяет условиям его жены?
8. Число a — корень уравнения x13+x8+x3=1.
Укажите все натуральные значения n, при которых выполняется равенство a5+a3=an+1.