Официальные задания и ответы муниципального этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 9 класс 29.11.2023
Задания и ответы ВсОШ по Математике 2023-2024 (29 ноября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)
1.(4 балла) У Пети дома есть много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20%имеющихся ручек. Среди положенных ручек ровно 25%оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных ручек в пенале составила . 20%.Сколько всего ручек дома у Пети? Ручки в пенале тоже учитываются.
2.Через вершину Dквадрата ABCD проведена прямая ℓ , и на неё опущены высоты , AX, BY, CZ,как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата ABCD равна 1 6 9 , 169,а длина отрезка AX равна 5. (2 балла) Найдите длину отрезка CZ.
3.Найдите длину отрезка BY
4.(4 балла) По кругу лежали n шариков, где 6⩽n⩽100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 22 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?
5.В выражении (a+2b)(b+2c)(c+2d)(d+2e)(e+2f)(f+2a)раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Найдите коэффициент при abcdef.
6.Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
7.ан выпуклый четырёхугольник ABCD,в котором AB=BD.На отрезке BD выбрали точку K так, что AD∥KC.Описанная окружность треугольника KDC пересекает отрезок BC в точке L. Известно, что ∠ABD=48 ∘ и. ∠CBD=13 ∘ .Сколько градусов составляет угол BAL?
8.В очереди в буфет стоят 30человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно N рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 т. е. человек №1 находится в начале очереди, а человек №30 — в конце). Каждый человек в очереди знает, сколько денег у каждого из остальных. Человек №1 сказал: «У меня есть 10 рублей», а все остальные сказали: «У меня на 10 рублей больше, чем у человека передо мной». Оказалось, что ровно один из стоящих в очереди соврал.
9.В случае наименьшего возможного значения N какой номер мог иметь совравший человек? Укажите все возможные варианты.
10.компьютер ввели число 1 . 1.За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7 , либо поделить на 2 ,если оно чётное (например, из числа 60можно получить 30 или 6 7 ).При этом запрещается получать числа, большие. 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
11.Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат 1 × 1 тоже является полоской). Назовём натуральное число k хорошим, если клетчатый прямоугольник 43×k можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?