Задания и ответы школьного этапа всероссийской олимпиады школьников 2022-2023 учебного года по Математике 10 класс Московская область 50 регион
1. У Эмили есть 14 шариков: 8 тяжёлых, 6 лёгких; 9 белых, 5 чёрных. Какое наименьшее количество шариков нужно выбрать, чтобы среди них ОБЯЗАТЕЛЬНО бы был тяжёлый белый шарик?
2. Феликс возвёл ненулевое число $F$ в четвёртую степень, и оно увеличилось вдвое. Во сколько раз увеличится число $F$, если его возвести в тринадцатую степень?
3. Рассмотрим всевозможные шестиугольники, вписанные в окружность радиуса 107 так, что центр окружности находится внутри или на стороне каждого из этих шестиугольников. В каждом из таких шестиугольников найдём самую длинную сторону и измерим её длину. (Самых длинных сторон может быть несколько, это не запрещено.)
Какую НАИБОЛЬШУЮ длину мы получим (из всех полученных длин)?
Какую НАИМЕНЬШУЮ длину мы получим (из всех полученных длин)?
4.Окружности A радиуса a и окружность B радиуса b пересекаются в точках C и D. На окружности A даны точки A1 и A2 , а на окружности B даны точки итак B1 B2, что отрезки A1B1 и A2B2 пересекаются в точке D .Известно, что CA1=15. CA2=10. CB1=6
а) Найдите СВ2.
б) Найдите A/B
5.На острове живут какие-то люди, каждый из них рыцарь или лжец. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.)
Как-то днём все жители прогуливались в парке, и каждый произнёс, обращаясь к кому-то другому, одну из двух фраз: “Ты рыцарь” или “Ты лжец”. Каждый произнес свою фразу ровно один раз (и только одну из этих фраз), но не обязательно каждый ровно один раз услышал от другого какую-либо из этих фраз.
Больше они в тот день не говорили ничего. На следующий день каждый сказал:
«Вчера я произнес фразу “Ты рыцарь”».
Всего на острове 40 жителей.
а) Какое НАИМЕНЬШЕЕ количество лжецов может быть среди жителей этого острова?
б) Какое НАИБОЛЬШЕЕ количество лжецов может быть среди жителей этого острова?
6.Натуральные числа a и b таковы, что НОК( a,b) : НОД(a.b ) = 330. Сколько разных значений может принимать отношение a/b?
7.Внутри равностороннего треугольника обнаружена точка, расстояния от которой до сторон треугольника равны , 3 4корень3, 7 4корень3, 15 4корень3. Найдите площадь этого равностороннего треугольника.
8. Расмотрим a/b + 49b/a+b
Пусть a и b принимают всевозможные положительные значения.
а) Какое наименьшее значение принимает это выражение?
б) При каком значении отношения a/b достигается это значение?
9.Окружность радиуса 25 с центром в точке O1 и окружность w2 радиуса 64 с центром в точке O2 касаются прямой l в точках P1 и P2 соответственно, причём P1P2=80 . Точки O1 и O2 расположены по одну сторону от прямой l . Пусть P — середина отрезка P1P2 . Из P проведены различные касательные PP1 и PT1 к W1( T1 W1) и различные касательные PP1 и PT2 к W2 (T2 W2 ). Найдите сумму O1T2 и O2T1
10.В стране Графляндии все дороги имеют двустороннее движение, каждая дорога соединяет какие-то два города. Все города Графляндии распределены по регионам, регионы пронумерованы числами 1, 2, …, . В регионе номер есть ровно три города: , , , эти три города соединены каждый с каждым дорогой (всего три дороги). Кроме того, для всякого город соединён дорогой (тоже с двусторонним движением) с городом , а город соединён дорогой с городом .
Недавно был принят новый закон, который скоро вступит в силу, согласно которому каждая дорога Графляндии должна стать дорогой с односторонним движением. Министерство дорог и перемещений Графляндии желает установить направление движения на дорогах так, чтобы от любого города можно было добраться до любого другого, не нарушая правил.
Пусть в Графляндии всего 7 регионов.
а) Сколькими способами можно установить направление движения на всех дорогах, не обращая внимания на то, можно ли от любого города доехать до любого другого или нет? В ответ введите (внимание!) корень четвёртой степени из найденного количества способов (при необходимости округлив до сотых, т.е. до двух знаков после запятой).
б) Сколькими способами можно установить направление движения на всех дорогах так, чтобы от любого города можно было добраться до любого другого?