Задания и ответы школьного этапа всероссийской олимпиады школьников 2022-2023 учебного года по Математике 9 класс Московская область 50 регион
1. Известно, что -4<=x<=<5, -7<=y<=9, 6<=z<=8 и w=xy-z. Найдите
наименьшее возможное значение w.
2.4. Биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D; точка E на стороне AB такова, что ADC=ADE .
Известно, что длина стороны AB равна 32, а длина стороны BC больше длины CA стороны на 7. Найдите периметр треугольника DEB.
3.По кругу стоят 96 человек, каждый из них — либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда говорит неправду). Все они смотрят внутрь круга.
Каждый сказал: “Эти двое справа от меня… один из них рыцарь, а другой — лжец!”. Сколько там могло быть рыцарей?
96
64
48
32
0
4.Рассмотрим всевозможные шестиугольники, вписанные в окружность радиуса 101 так, что центр окружности находится внутри или на стороне каждого из этих шестиугольников. В каждом из таких шестиугольников найдём самую длинную сторону и измерим её длину. (Самых длинных сторон может быть несколько, это не запрещено.)
Какую НАИБОЛЬШУЮ длину мы получим (из всех полученных длин)?
Какую НАИМЕНЬШУЮ длину мы получим (из всех полученных длин)?
5.В стране 10 городов, некоторые соединены дорогами (каждая дорога соединяет 2 различных города; никакие два города не соединены более чем одной дорогой). Всего в стране 26 дорог. Известно, что из всех городов выходит одинаковое количество дорог, а из столицы — другое число дорог.
а) Сколько дорог выходит из столицы?
б) Сколько дорог выходит из нестоличного города?
6.На доске написаны 30 чисел (не обязательно различных). Упорный ученик Мстислав посчитал произведение каждого из чисел с каждым из остальных (таких произведений всего 435). Ровно 33 из этих произведений оказались отрицательными. Сколько нулей было среди исходных 30 чисел?
7.Ниже дано выражение 2×2-6xy+10y2-90z-30+1012.
а) Найдите его значение при x=0=y.
б) Пусть y=0. При каком НАИБОЛЬШЕМ значении это выражение равно
нулю?
в) Найдите наименьшее возможное значение этого выражения.
8.Внутри равностороннего треугольника обнаружена точка, расстояния от которой до сторон треугольника равны , 3 4корень3, 7 4корень3, 15 4корень3. Найдите площадь этого равностороннего треугольника.