Разбор заданий: ответы к Олимпиаде ВСОШ по Математике 9 класс, муниципальный этап для Московской области на 08.11.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для 9 класса. Материалы являются официальными взяты и опубликованы в ознакомительных целях
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 08.11.2025 г.
Ответы к вопросам 9 класс
Задание 1. Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более 3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?». Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3». Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32 людям?
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не обязательно записанных по порядку)?
→ Раскрыть ответ
Задание 3. При решении уравнения (𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑐)(𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 𝑐) = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – некоторые натуральные числа, причём 𝑎 > 𝑏, Катя обнаружила, что уравнение имеет четыре корня, и эти корни являются последовательными натуральными степенями тройки (например, 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 ). Найдите все простые числа, которые могут быть делителями числа 𝑎 − 𝑏.
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку 𝐴, пересекает отрезки 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑋 и 𝐴𝐶𝑌, касаются.
→ Раскрыть ответ
Задание 5. Можно ли выбрать числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎10 так, что произведения 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4, 𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5, … , 𝑎8𝑎9𝑎10𝑎1, 𝑎9𝑎10𝑎1𝑎2, 𝑎10𝑎1𝑎2𝑎3, записанные в некотором порядке, образовывали последовательные натуральные числа 21, 22, 23, … , 30?
→ Раскрыть ответ
