Задания и ответы 9 класс Геометрия Математическая вертикаль 2022 года , дата проведения онлайн олимпиады: 21.04.2022 (21 апреля 2022 г.).
Вариант 1
Задача 1. Если утверждение верно, напишите «ДА», иначе напишите «НЕТ», приведите пример,
опровергающий утверждение, и укажите всё необходимое для понимания вашего примера.
а) [1 балл] Если синус угла равен 1/2, то его косинус равен√3/2.
Ответ: Нет
б) [1 балл] Если на окружности отмечены точки ?, ?, ? так, что хорда ?? в три раза больше хорды
??, то дуга этой окружности, стягиваемая хордой ??, в три раза больше дуги этой окружности,
стягиваемой хордой ??. (В обоих случаях под дугой, стягиваемой хордой, понимается меньшая из
двух дуг, на которые концы хорды разбивают окружность.)
Ответ: Да
в) [1 балл] Если в треугольнике сумма квадратов длин двух любых сторон больше квадрата длины
оставшейся третьей стороны, то такой треугольник — остроугольный.
Ответ: Да
г) [1 балл] Если длина суммы трёх векторов равна 0, то каждый из этих трёх векторов — нулевой.
Ответ: Нет
Задача 2. [2 балла] К некоторой окружности проведена касательная ?? (где ? — точка касания) и секущая ?? (точка
Ответ: 10
? принадлежит окружности). Отрезок ?? пересекает окружность в точке ? (см. рисунок). Найдите длину отрезка ??, если
?? = 4, ?? = 15.
Ответ: 5
Задача 3. [3 балла] Даны векторы: →? {5; −2},→? {−3; 1}. Найдите:
а) [1 балл] координаты вектора →? + 2→? ;
Ответ: -1:0
б) [1 балл] скалярное произведение векторов →? +→? и→? −→? ;
Ответ: 19
в) [1 балл] длину вектора 5→? + 7→? .
Ответ: 5
Задача 4. [2 балла] В треугольнике ??? угол ? равен 53∘, угол ? равен 97∘. Найдите диаметр
окружности, описанной около треугольника ???, если ?? = 3.
Ответ: 3
Задача 5. [2 балла] На плоскости отмечены точки ?(−11; 25) и ?(13; −27). Найдите расстояние от
начала координат до середины отрезка ??.
Ответ: √2
Задача 6. [3 балла] В круг площадью 36 см2 вписали два касающихся между собой круга вдвое
меньшего радиуса (см. рисунок). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 9
Задача 7. [2 балла] Нарисуйте образ четырёхугольника ???? после двух осевых симметрий: сначала
относительно прямой ?, затем относительно прямой ?.
Задача 8. [4 балла] В треугольнике ??? известны длины всех сторон: ?? = 17, ?? = 21 и ?? = 10.
На стороне ?? выбрана точка ? так, что ?? : ?? = 3 : 4. Найдите косинус угла ??C
Ответ: -0,6
Задача 9. В треугольнике ??? с вершинами ?(0; 0), ?(9; 0) и ?(0; 12) найдите:
а) [2 балла] радиус окружности, вписанной в треугольник ???;
б) [2 балла] уравнение окружности, вписанной в треугольник ???.
Задача 10. Медиана ?? и биссектриса ?? треугольника ??? пересекаются в точке ?, длина
стороны ?? в 4 раза больше длины стороны ??.
а) [2 балла] Найдите отношение ?? : ??.
б) [2 балла] Найдите отношение площади четырехугольника ?? ?? к площади треугольника ???.
Вариант 2
Задача 1. Если утверждение верно, напишите «ДА», иначе напишите «НЕТ», приведите пример,
опровергающий утверждение, и укажите всё необходимое для понимания вашего примера.
а) [1 балл] Если синус угла равен √3/2, то его косинус равен 1/2
Ответ: Нет
б) [1 балл] Если на окружности отмечены точки ?, ?, ? так, что хорда ?? в четыре раза больше
хорды ??, то дуга этой окружности, стягиваемая хордой ??, в четыре раза больше дуги этой
окружности, стягиваемой хордой ??. (В обоих случаях под дугой, стягиваемой хордой, понимается
меньшая из двух дуг, на которые концы хорды разбивают окружность.)
Ответ: Нет, длина дуги пропорциональна центральному углу, а длина хорды нет.
в) [1 балл] Если в треугольнике сумма квадратов длин двух сторон меньше квадрата длины оставшейся третьей стороны, то такой треугольник — тупоугольный.
Ответ: Да
г) [1 балл] Если скалярное произведение двух векторов равно 0, то один из векторов — обязательно
нулевой.
Ответ: Нет
Задача 2. [2 балла] К некоторой окружности проведена касательная ?? (где ? — точка касания) и секущая ?? (точка
? принадлежит окружности). Отрезок ?? пересекает окружность в точке ? (см. рисунок). Найдите длину отрезка ??, если
?? = 2, ?? = 7,5.
Ответ: МА=0,5
Задача 3. [3 балла] Даны векторы: →? {3; −1},→? {−5; 2}. Найдите:
а) [1 балл] координаты вектора −→? + 2→? ;
Ответ: →? + 2→? = (-7:3)
б) [1 балл] скалярное произведение векторов →? +→? и→? −→? ;
Ответ: -19
в) [1 балл] длину вектора 7→? + 5→b
Ответ: 5
Задача 4. [2 балла] В треугольнике ??? угол равен 67∘, угол равен 83∘. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ???, если ?? = 4,5.
Ответ: d= 9
Задача 5. [2 балла] На плоскости отмечены точки ?(23; −13) и ?(−27; 19). Найдите расстояние от
начала координат до середины отрезка ??.
Ответ: d=√13
Задача 6. [3 балла] В круг площадью 52 см2 вписали два касающихся между собой круга вдвое
меньшего радиуса (см. рисунок). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ: S=13
Задача 7. [2 балла] Нарисуйте образ четырёхугольника ???? после двух осевых симметрий: сначала
относительно прямой ?, затем относительно прямой ?.
Часть с развёрнутыми ответами
В задачах 8–10 необходимо записать полное решение.
Задача 8. [4 балла] В треугольнике ??? известны длины всех сторон: ?? = 20, ?? = 21 и ?? = 13.
На стороне ?? выбрана точка ? так, что ?? : ?? = 1 : 2. Найдите угол ???.
Ответ: sin x = 0.8
Задача 9. В треугольнике ??? с вершинами ?(0; 0), ?(12; 0) и ?(0; 16) найдите:
а) [2 балла] радиус окружности, вписанной в треугольник ???;
б) [2 балла] уравнение окружности, вписанной в треугольник ???.
Задача 10. Медиана ?? и биссектриса ?? треугольника ??? пересекаются в точке ?, длина
стороны ?? в 6 раз больше длины стороны ??.
а) [2 балла] Найдите отношение ?? : ??.
б) [2 балла] Найдите отношение площади четырехугольника ?? ?? к площади треугольника ??C