![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/03/image-2457.png)
«Математическая вертикаль» – городской образовательный проект, целью которого является многоцелевая предпрофильная подготовка по математике и смежным областям.
Вариант 1
1. Про каждое из следующих утверждений запишите в поле ответа «Да», если
оно верно, и «Нет», если неверно. Для каждого ответа «Нет» нарисуйте пример, опровергающий утверждение, отметив на рисунке всё необходимое
а) [1 балл] Если два угла трапеции равны, то она равнобедренная.
б) [1 балл] Ромб, который можно вписать в окружность, является квадратом.
в) [1 балл] Если в каждом из двух прямоугольных треугольников один катет втрое больше другого
катета, то их периметры отличаются в 3 раза.
г) [1 балл] Если средняя линия перпендикулярна медиане треугольника, то он равнобедренный.
2. Постройте треугольник, для которого отмеченные точки являются серединами его сторон
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-5.png)
3. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 9. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна одному из оснований, а другое основание в два раза меньше.
4. Определите, какая часть отрезка AB находится внутри квадрата на рисунке?
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-6.png)
5. На рисунке изображён квадрат и проведены отрезки. Два отмеченных угла равны 18°. Найдите неизвестный угол α.
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-7.png)
6. Вершины ромба находятся в узлах клетчатой сетки. Две из них отмечены точками A и B. Отметьте все узлы сетки в пределах рисунка, где может находиться ещё одна вершина ромба
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-8.png)
7. Человек ростом 180 см отошёл от трёхметрового фонаря на расстояние 2 м. Определите длину тени человека в освещении этого фонаря.
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-9.png)
8. Две противоположные стороны шестиугольника параллельны и равны. Докажите, что середины остальных его сторон образуют параллелограмм.
9. В параллелограмме ABCD на стороне AD отметили середину M и на стороне CD точку K так, что CK = 7, KD = 2. Найдите длину отрезка BK, если известно, что угол BMK прямой.
Вариант 2
1.Про каждое из следующих утверждений запишите в поле ответа «Да», если оно верно, и «Нет», если неверно. Для каждого ответа «Нет» нарисуйте пример, опровергающий утверждение, отметив на рисунке всё необходимое.
а) [1 балл] Если все стороны четырёхугольника равны, то он параллелограмм.
б) [1 балл] Параллелограмм, имеющий две оси симметрии, является прямоугольником.
в) [1 балл] Если равнобедренные треугольники с основаниями 5 и 7 подобны, то их периметры отличаются в 1,4 раз.
г) [1 балл] Если отрезок соединяет точки на сторонах треугольника и делит их в отношении 1 : 2, то
он параллелен третьей стороне треугольника.
2.Постройте треугольник, для которого отмеченные точки являются серединами его сторон.
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-10.png)
3. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 10. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна одному из оснований, а другое основание в полтора раза больше.
4. Определите, какая часть отрезка AB находится внутри квадрата на рисунке?
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-11.png)
5. На рисунке изображён квадрат, два отмеченных отрезка равны и один из отмеченных углов равен 74°. Найдите неизвестный угол α.
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-12.png)
6. Вершины ромба находятся в узлах клетчатой сетки. Две из них отмечены точками A и B. Отметьте все узлы сетки в пределах рисунка, где может находиться ещё одна вершина ромба.
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-13.png)
7. Человек ростом 160 см отошёл от четырёхметрового фонаря на расстояние 1,5 м. Определите длину тени человека в освещении этого фонаря
![](https://pndexam.ru/wp-content/uploads/2023/01/image-14.png)
8. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
9. В параллелограмме ABCD на стороне CD отметили середину M и на стороне AD точку K так, что AK = 5, KD = 3. Найдите длину отрезка BK, если известно, что угол BMK прямой.