Решения заданий и ответы для муниципального этапа ВСОШ по Математике (11 класс) 2024/25 учебного года для Москвы, проводимого 06 декабря 2024 года на платформе МЭШ/Сириус.
ВсОШ Муниципальный этап по Математике
Задания 11 класс
1. В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240см2, а наименьшая 24см2. Обозначим xсм2 площадь оставшейся грани.
Найдите сумму всех возможных значений x.
→ Узнать ответ
2.Положительные действительные числа x,yx,y удовлетворяют равенствам y=3√x и xy=yx. Чему может быть равно xy?
Укажите все возможные варианты в любом порядке.
→ Узнать ответ
3. Три окружности радиусов a,b,c касаются как на рисунке, а их центры Q,R,S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5
4. В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны.
Сколькими способами он может это сделать?
→ Узнать ответ
5. Назовём натуральное число m привлекательным, если равенство [2024n]=m не выполняется ни для какого натуральноо n. Напомним, что [x] обозначает целую часть числа x.
а) (2 балла) Найдите наименьшее привлекательное число.
б) (2 балла) Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих 2024.
→ Узнать ответ
6. Назовём натуральное число n увлекательным, если в клетках квадратной таблицы n×n можно расставить числа от 1 до n2 так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика 2×2 делилась на 4.
а) (1 балл) Приведите пример числа n, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам 40⩽n⩽49.
б) (3 балла) Найдите количество увлекательных чисел среди чисел 10,11,…,49
→ Узнать ответ
7. Обозначим αα положительный корень квадратного трёхчлена x2+x−5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты и P(α)=49.
а) (1 балл) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P.
б) (3 балла) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.
→ Узнать ответ
8. (4 балла) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX.
Какое наименьшее значение он может получить?
→ Узнать ответ
