Разбор материалов: задания, ответы, решения к олимпиаде «Бельчонок» по Математике 10 класс отборочного тура, проходящую с 01 октября 2025 г. по 13 января 2026 г.
Отборочный тур «Бельчонок» по Математике
Вопросы 10 класс
Задание 1. Длины сторон клетчатого прямоугольника не превосходят 50. Границу прямоугольника нарисовали красным цветом. Оказалось, что число клеток прямоугольника, каждая из которых содержит красный отрезок, составляет 22% от общего числа клеток. Из скольких клеток состоит прямоугольник
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Числа 1,2,3,…,2047 выписаны в ряд в некотором порядке. Петя вычислил 2045 сумм всех троек соседних чисел. Какое наибольшее количество этих сумм могут оказаться нечётными?
→ Раскрыть ответ
Задание 3. Касательная AN проведена к описанной около треугольника ABC окружности. Известно, что ∠NAC=58∘. Точки N и B лежат по разные стороны от прямой AC. Найдите градусную меру острого угла между биссектрисами углов CAB и ACB.
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Действительные числа x, y, z таковы, что x2−yz=y2−xz=z2−xy. Какие значения может принимать выражение x/y+z+4y/x+z+6z/x+y? Если вариантов несколько, то в ответ запишите сумму получившихся чисел.
→ Раскрыть ответ
Задание 5. На доске написаны два квадратных трёхчлена f(x)=ax2+2bx+c и g(x)=(a+1)x2+2(b+2)x+c+4, дискриминанты которых равны D1 и D2 соответственно. Оказалось, что D1−D2=36. Найдите f(−2).
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Три соавтора книги получили гонорар, который распределили между собой в отношении 8∶6∶5. Немного подумав, они решили, что получилось нечестно, и переделили гонорар в отношении 7∶5∶4 (порядок авторов такой же, как в первом отношении). В результате один из них получил на 35 веллеров больше, чем получил бы в первый раз. Чему равна величина всего гонорара в веллерах?
→ Раскрыть ответ
Задание 7. Последовательность Фибоначчи Fn задаётся так: первые два элемента F1 и F2 равны 1, а каждый следующий элемент последовательности равен сумме двух предыдущих: Fn+2=Fn+1+Fn. Вот первые 10 элементов последовательности Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… Определите, сколько из первых 203 элементов последовательности Фибоначчи кратны трём.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. В квадратной таблице 5×5 расставлены натуральные числа. Сумма чисел в каждом столбце равна 28 или 30, а во всех строках, кроме первой, сумму равна 28. Чему может быть равна сумма чисел в первой строке? Выберите один или несколько ответов:
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
→ Раскрыть ответ
Задание 9. В графе (без петель и кратных рёбер) 45 вершин, и никакие две вершины одинаковой степени не соединены ребром. Какое наибольшее количество рёбер может быть в этом графе?
→ Раскрыть ответ
Задание 10. На столе лежит n>14 двухсторонних карточек, и на каждой стороне каждой карточки написано положительное число. Изначально сумма всех чисел на лицевых сторонах карточек больше, чем сумма на оборотных. Оказалось, что какие 14 карточек ни переверни, сумма всех чисел на лицевых сторонах карточек останется больше, чем сумма на оборотных. Для какого минимального n это возможно?
→ Раскрыть ответ
