Олимпиада «Сириус» ответы, вопросы по Математике 10 класс, школьный этапа Всероссийской олимпиады 4 группа от 16 октября 2025 года. Официальный вариант с вопросами на логику, головоломки.
Школьный этап Сириус по Математике для 4-ой группы 16 октября 2025 г.
Вопросы и ответы 10 класс
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 2. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 2. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В трапеции ABCD точки P и Q середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD=33°, ∠CDA=57°. Ответ выразите в градусах.
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В трапеции ABCD точки Р и Q-середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD =36°, ∠CDA 54°. Ответ выразите в градусах.
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В трапеции ABCD точки Р и Q -середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠ВАD = 31°, ∠CDA 59°. Ответ выразите в градусах.
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Последовательность чисел (an)определяется следующим образом: a1=2, a2=1213, an=an−2⋅an−12an−2−an−1 для всех n=3 , 4 , … . Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
→ Раскрыть ответ
Задание 5. График квадратичной функции f(x)=ax2+bx+c при a>0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15 . Найдите c. Число или дробь Найдите f(1)+f(−1) .
→ Раскрыть ответ
Задание 5. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите с. Найдите f(3) + f(-3)..
→ Раскрыть ответ
Задание 5. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите с. Найдите f(2) + f(2).
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−ab¯¯¯¯¯−cd¯¯¯¯¯−ef¯¯¯¯¯ для некоторого шестизначного числа abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−ab¯¯¯¯¯−cd¯¯¯¯¯−ef¯¯¯¯¯ для некоторого шестизначного числа abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
→ Раскрыть ответ
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯−ab¯¯¯¯¯−cd¯¯¯¯¯−ef¯¯¯¯¯ для некоторого шестизначного числа abcdef¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ . Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
→ Раскрыть ответ
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n≤10 n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1% , второй 2% , … , n ‑й , после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты: 800 820 825 830 850 890
→ Раскрыть ответ
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты: 700 720 725 760 770 790
→ Раскрыть ответ
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%,…, n-й — 1 %, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты: 900 910 920 925 950 970
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Окружности ω1 и ω2 имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω3 это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω1 и ω2 и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω4 касается внутренним образом ω1и ω2 и внешним ω3 . Найдите радиус окружности ω4.
→ Раскрыть ответ
