Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 11 класс 17.10.2023
Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (17 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)
Задание 1.
Вариант 1: Девять действительных чисел a1, a2,… образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4=6
Вариант 2: Девять действительных чисел a1, a2,… образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4=8
Вариант 3: Девять действительных чисел a1, a2,… образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4=6
Вариант 4: Девять действительных чисел a1, a2,… образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4=9
Задание 2.
Вариант 1: В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Вариант 2: В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 120 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Вариант 3: В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 60 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Вариант 4: В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 90 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Задание 3.
Вариант 1: Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое,2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 205 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 175 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
Вариант 2: Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое,2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 235 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 205 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
Вариант 3: Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое,2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 175 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 145 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
Вариант 4: Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое,2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 265 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 235 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки?
Задание 4.
Вариант 1: Каждая клетка таблицы 11×11 покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
Вариант 2: Каждая клетка таблицы 13×13 покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
Вариант 3: Каждая клетка таблицы 9×9 покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
Задание 5.
Вариант 1: Найдите наибольшее натуральное число, которое в 17 раз больше своего остатка от деления на 1024
Вариант 2: Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024
Вариант 3: Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 512
Вариант 4: Найдите наибольшее натуральное число, которое в 17 раз больше своего остатка от деления на 512
Задание 6.
Вариант 1: Даны окружность w радиуса 6 и точка С, лежащая вне её. Из точки С провели касательную w, касающуюся в точке D , и секущую, пересекающую w в точках A и B . Оказалось, что CD = 8 и AC=4 . Найдите площадь треугольника BCD.
Вариант 2: Даны окружность w радиуса 9 и точка С, лежащая вне её. Из точки С провели касательную w, касающуюся в точке D , и секущую, пересекающую w в точках A и B . Оказалось, что CD = 12 и AC=6 . Найдите площадь треугольника BCD.
Задание 7.
Вариант 1: В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города А найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с А . Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Вариант 2: В стране 14 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города А найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с А . Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Вариант 3: В стране 16 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города А найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с А . Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Вариант 4: В стране 13 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города А найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с А . Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Задание 8.
Вариант 1: Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел:
Вариант 2: Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел:
Вариант 3: Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел:
Вариант 4: Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел:
