Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 10 класс 20.10.2023
Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (20 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)
Задание 1
На пробковой доске Саша хочет разместить 66 бумажных кругов так, чтобы они располагались, как на схеме ниже.
Саша хочет прикрепить круги к доске с помощью канцелярских кнопок, причём он хочет, чтобы каждый круг был прикреплён хотя бы тремя кнопками. Какое наименьшее количество кнопок ему для этого понадобится?
Задание 2
На доске написано число 10. За одну операцию разрешается число n заменить либо на число n−8, либо на число n3. Какие из следующих чисел можно получить через несколько операций?
59
−24
−198
1110
168
Задание 3
Восемь школьников, среди которых Аня, Боря, Юля и Ян, играли в пинг‑понг. Каждый школьник сыграл с каждым другим ровно один раз. Аня и Боря выиграли по пять раз каждый. Какое наибольшее количество побед суммарно могли одержать Юля и Ян?
Задание 4
Назовём многоугольник, нарисованный на координатной плоскости, клетчатым, если каждая его сторона которого лежит на прямой вида x=k для некоторого целого k или y=k для некоторого целого k. Примеры клетчатых многоугольников на картинке ниже:
Окружность x2+y2=103 оказалась целиком внутри клетчатого многоугольника P. Какое наименьшее значение может принимать периметр многоугольника P?
Задание 5
В треугольнике ABC известны величины углов: ∠A=70∘, ∠B=54∘, ∠C=56∘. Окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Оказалось, что сумма AQ+BP принимает наименьшее возможное значение. Чему равен угол ∠BPQ? Ответ выразите в градусах.
Задание 6
На доске записаны несколько попарно различных натуральных чисел. Рома вычислил произведение двух наименьших чисел и получил 49. Затем он вычислил произведение двух самых больших чисел и получил 2703. Чему может быть равна сумма всех чисел на доске? Укажите все возможные ответы.
Задание 7
Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что P(x)⩽Q(x) тогда и только тогда, когда 6⩽x⩽9. Известно, что P(0)−Q(0)=243. Чему равно P(1)−Q(1)?
Задание 8
Яна придумала пятизначное число, и Тимофей хочет его угадать. За один вопрос Тимофей может назвать пятизначное число, и Яна скажет, сколько в нём верных цифр, т.е. цифр, которые тоже присутствуют в числе Яны, причём на том же самом месте, что и в числе Тимофея. Яна сказала, что в предложенном Тимофеем числе 64179 верны две цифры, а в числе 58230 —— три. Тимофей выписал все пятизначные числа, подходящие под ответы Яны. Чему равна сумма чисел, выписанных Тимофеем?