Олимпиада «Сириус» ответы, вопросы по Математике 8 класс, школьный этапа Всероссийской олимпиады 4 группа от 16 октября 2025 года. Официальный вариант с вопросами на логику, головоломки.
Школьный этап Сириус по Математике для 4-ой группы 16 октября 2025 г.
Вопросы и ответы 8 класс
Задание 1. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5×4 (уголок это прямоугольник 5×4, из которого удалили прямоугольник 4×3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Задание 1. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 х 3 (уголок — это прямоугольник 5 х 3, из которого удалили прямоугольник 4 х 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
→ Раскрыть ответ
Задание 1. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 х 4 (уголок — это прямоугольник 6 х 4, из которого удалили прямоугольник 5 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
→ Раскрыть ответ
Задание 1. На клетчатом поле построили змейку из 50 уголков 4 х 4 (уголок — это квадрат 4 х 4, из которого удалили квадрат 3 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Натуральное число a a разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное c2 и остаток r2. Разделив c2 на r2 , получили c3=2 и r3=3 При каком наименьшем a a такое возможно?
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3=3 и r3=2. При каком наименьшем а такое возможно?
→ Раскрыть ответ
Задание 2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 4 и r3=2. При каком наименьшем а такое возможно?
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
→ Раскрыть ответ
Задание 3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы пять рыцарей», или «Передо мной хотя бы шесть лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число? Наибольшее: Число Наименьшее:
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Семнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1300. Последнее, наибольшее, семнадцатое, равно 90. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
→ Раскрыть ответ
Задание 4. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
→ Раскрыть ответ
Задание 5. В последовательности a1=9, a2=2, a3=13, … каждый член определяется двумя предыдущими:
an+1=an+1an−1.Найдите a60.
→ Раскрыть ответ
Задание 6. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
→ Раскрыть ответ
Задание 6. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 12 девятиклассников, в другой — 24 восьмиклассника и 20 девятиклассников. Всем Восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
→ Раскрыть ответ
Задание 6. В одной школе в математический кружок ходят 12 восьмиклассников и 22 девятиклассника, в другой — 14 восьмиклассников и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
→ Раскрыть ответ
Задание 7. В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC. На стороне BC выбрали точку D, а на стороне AB точку E, так что BD=AE, а DE=BE.
Найдите величину угла CEA, если ∠ABC=26∘. Ответ выразите в градусах.
Задание 8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4 таковы, что четыре прямые y=a1x+b1, y=a2x+b2, y=a3x+b3, y=a4x+b4 пересекаются в одной точке. Числа c1, c2, c3, c4 это числа b1, b2 , b3 , b4 , записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые y=a1x+c1, y=a2x+c2, y=a3x+c3, y=a4x+c4 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.
→ Раскрыть ответ
