Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 11 класс 19.10.2023
Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (19 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)
Задание 1.
Шесть действительных чисел образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первого, пятого и шестого членов в 4 раза больше, чем среднее арифметическое первого, третьего и пятого членов. Во сколько раз сумма второго и третьего членов прогрессии больше первого члена прогрессии?
Задание 2.
Стеклянный полый правильный тетраэдр, стоящий гранью на столе, наполнили водой до 2/3 высоты. После этого всю воду перелили в маленькие полые одинаковые правильные тетраэдры, ребро каждого из которых в 3 раза меньше ребра исходного тетраэдра. Сколько маленьких тетраэдров потребуется?
Задание 3.
В одной стране живут мальчиши и плохиши. Известно, что плохиши всегда врут, а мальчиши всегда говорят правду. Однажды собрались в хоровод на площади 10 жителей этой страны, и каждый сделал заявление: «Ровно у одного из двух моих соседей есть сосед‑плохиш!». Сколько в хороводе может быть плохишей? Укажите все возможные варианты.
Задание 4.
Рассмотрим стозначное число вида: 333…336 (в числе 99 троек и одна шестёрка в разряде единиц). Сколько чётных цифр в десятичной записи квадрата этого числа?
Задание 5.
Через середину M стороны CD прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке K, а луч BC —— в точке L. Известно, что KM=20, а MD=12.
Также проведена окружность w1 радиусом 30 с центром в точке K и окружность w2 радиусом 50 с центром в точке L. Оказалось, что одна из точек пересечения w1 и w2 лежит на луче AB.
Найдите расстояние от точки B до общей точки окружностей w1, w2 и луча AB.
Задание 6.
Между сёлами Гаврилово и Пугальцево есть дорога, длина которой выражается целым числом километров. По дороге через каждый километр стоит километровый столб, с одной стороны которого указано расстояние в километрах до Гаврилово, а с другой стороны —— расстояние до Пугальцево. В самих деревнях километровые столбы не стоят, то есть нет столба с числом 0. Известно, что для записи чисел на каждом километровом столбце всего было использовано ровно 4 цифры, возможно, не все разные.
Чему может быть равно расстояние от Гаврилово до Пугальцево? Ответ выразите в километрах.
Задание 7.
В стране 19 городов, некоторые пары из которых соединены прямыми дорогами. Между любыми двумя городами проходит не более одной дороги. Известно, что для любых двух городов A и B, соединённых дорогой, найдётся такой город C, что ни A, ни B не соединены прямой дорогой с C. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Задание 8.
В ряд стоит 12 детей. При каких k от 2 до 12 заявление: «Если среди любых k подряд стоящих детей девочек больше, чем мальчиков, то и всего в ряду девочек больше, чем мальчиков» будет верным?