Олимпиада школьного этапа ВсОШ по Математике 8 класса задания и ответы: Московская область, 26-28 сентября 2026. Полный доступ к ответам и разбору всероссийской олимпиады, проходящей на площадке «Взлет» — mo.olymponline.ru.
Скачать полные задания и ответы
Олимпиада «Взлет» ВсОШ по Математике 8 класс
Вариант 1.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
- Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
- Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
- Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
→Узнать ответ
Задание 2. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
- Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
- Какое число останется на доске по окончании процесса?
→Узнать ответ
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
→Узнать ответ
Задание 4. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
- Сколько градусов составляет угол BAC?
- Сколько градусов составляет угол BCA?
→Узнать ответ
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
- За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
- Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
→Узнать ответ
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
→Узнать ответ
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
- Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
- Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
→Узнать ответ
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
- Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11 - Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
→Узнать ответ
Вариант 2.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
- Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
- Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
- Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
→Узнать ответ
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
- Сколько градусов составляет угол BAC?
- Сколько градусов составляет угол BCA?
→Узнать ответ
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
→Узнать ответ
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
- Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
- Какое число останется на доске по окончании процесса?
→Узнать ответ
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, – за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
- За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
- Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
→Узнать ответ
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
→Узнать ответ
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
- Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
- Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
→Узнать ответ
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10.
- Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 2 до 9.
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
2
3
4
5
6
7
8
9 - Найдите вс возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
→Узнать ответ
Вариант 3.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
- Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
- Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
- Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
→Узнать ответ
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 72°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
- Сколько градусов составляет угол BAC?
- Сколько градусов составляет угол BCA?
→Узнать ответ
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
→Узнать ответ
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
- Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
- Какое число останется на доске по окончании процесса?
→Узнать ответ
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, – за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
- За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
- Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
→Узнать ответ
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
→Узнать ответ
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
- Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
- Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
→Узнать ответ
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
- Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11 - Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
→Узнать ответ
Вариант 4.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
- Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
- Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
- Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
→Узнать ответ
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
- Сколько градусов составляет угол BAC?
- Сколько градусов составляет угол BCA?
→Узнать ответ
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
→Узнать ответ
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
- Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
- Какое число останется на доске по окончании процесса?
→Узнать ответ
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, – за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
- За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
- Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
→Узнать ответ
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
→Узнать ответ
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
- Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
- Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
→Узнать ответ
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
- Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11 - Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
→Узнать ответ
Вариант 5.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
- Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
- Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
- Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
→Узнать ответ
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 84°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
- Сколько градусов составляет угол BAC?
- Сколько градусов составляет угол BCA?
→Узнать ответ
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
→Узнать ответ
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
- Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
- Какое число останется на доске по окончании процесса?
→Узнать ответ
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
- За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
- Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
→Узнать ответ
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
→Узнать ответ
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
- Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
- Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
→Узнать ответ
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19.
- Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 12 до 18.
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
12
13
14
15
16
17
18 - Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значениях n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
