Олимпиада школьного этапа ВсОШ по Математике 11 класса задания и ответы: 2 группа, 13 октября 2026. Полный доступ к ответам и разбору всероссийской олимпиады, проходящей на площадке uts.sirius.
Скачать полные задания и ответы
Олимпиада ВсОШ по Математике 11 класс 2 группа
Задание 1. Вариант 1.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?
Вариант 2.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 11n)°) · cos((n² + 11n)°) < 0?
Вариант 3.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 5n)°) · cos((n² + 5n)°) < 0?
Вариант 4.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?
→Узнать ответ
Задание 2. Вариант 1.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₅₀.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₅₀.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₀₀.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀.
→Узнать ответ
Задание 3. Вариант 1.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 2.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 17, а их медиана равна 20. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 3.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 15, а их медиана равна 18. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 4.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 22, а их медиана равна 25. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
→Узнать ответ
Задание 4. Вариант 1.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 2.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 8, а SC = 4 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 3.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 10, а SC = 5 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 4.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 2, а SC = 1 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
→Узнать ответ
Задание 5. Вариант 1.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 5)x + 3m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 7)x + 5m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 9)x + 7m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→Узнать ответ
Задание 6. Вариант 1.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 2.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 140. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 139 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 3.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 120. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 119 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 4.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 100. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 99 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
→Узнать ответ
Задание 7. Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠ABC = 55°, ∠BAC = 63°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠ABC = 54°, ∠BAC = 67°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠ABC = 53°, ∠BAC = 66°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠ABC = 57°, ∠BAC = 65°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
→Узнать ответ
Задание 8. Вариант 1.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 1, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 2.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 3.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 4. Найдите P(1).
Вариант 4.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 5. Найдите P(1).
→Узнать ответ
