Разбор материалов: задания, ответы, решения к олимпиаде «Бельчонок» по Математике 11 класс отборочного тура, проходящую с 01 октября 2026 г. по 12 января 2027 г.
Отборочный тур «Бельчонок» по Математике 11 класс
Задание 1. Дано множество S из n элементов. Известно, в S нашлись такие попарно различные непустые подмножества X₁, X₂, …, X₁₀₀, что любые два соседних Xᵢ и Xᵢ₊₁ в этом ряду, во-первых, не пересекаются, а во-вторых, в объединении не дают всё множество S. Найдите минимальное возможное значение n.
→Узнать ответ
Задание 2. По кругу есть 5 мест, пронумерованные по часовой стрелке 1, 2, 3, 4, 5. На каждом месте есть стрелка, указывающая по часовой или против. Изначально на каком-то месте стоит фишка. За один ход фишка проходит на соседнее место в направлении стрелки, после чего стрелка на том месте, где только что была фишка, меняет своё направление на противоположное. На рисунке показано начальное расположение и ситуация через один ход после исходного положения. На каком месте окажется фишка через 416 ходов после исходного положения и через 539 ходов после начального положения?
416-й ход
539-й ход
→Узнать ответ
Задание 3. Найдите наименьшее натуральное n такое, что 2^2005 делит 17^n − 1.
→Узнать ответ
Задание 4. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Известно, что вписанные окружности треугольников ABN и CBN касаются друг друга. Кроме того, вписанные окружности треугольников ADN и CDN также касаются друг друга. Найдите все возможные значения отношения AN : NC. Если ответов несколько, то в ответ запишите сумму получившихся чисел.
→Узнать ответ
Задание 5. Заяц и черепаха устроили забег по круговой тропинке. Они стартуют одновременно из одной точки в одном направлении, каждый — со своей постоянной скоростью. Заяц быстрее черепахи. Каждый раз, когда заяц и черепаха встречались в одной точке, черепаха мгновенно разворачивалась и с той же постоянной скоростью двигалась в противоположном направлении. Когда черепаха впервые вернулась на точку старта, заяц встретил её в 209-й раз. Во сколько раз скорость зайца больше скорости черепахи?
→Узнать ответ
Задание 6. Три приведённых квадратных трёхчлена касаются одной и той же красной прямой. В совокупности они имеют 6 корней, которые отмечены на рисунке. Первый, второй, третий и шестой по величине из этих корней известны. Найдите четвёртый и пятый. В ответ запишите произведение полученных чисел.
→Узнать ответ
Задание 7. Найдите все тройки (x; n; p) натуральных x и n и простых p, для которых
x³ + 3x² + 7 = 2 · p^n.
Если ответов несколько, то в ответе запишите наибольшую возможную сумму x + n + p среди всех таких троек.
→Узнать ответ
Задание 8. На рисунке изображён треугольник ABC и его вписанная окружность. Точка M — середина AB, точка T — точка касания вписанной окружности и стороны AB. Найдите разность периметров треугольников ACT и BCT.
→Узнать ответ
Задание 9. Числа −1013, −1012, …, −1, 1, 2, …, 1012, 1013 образуют в некотором порядке последовательность a₁, a₂, …, a₂₀₂₂. Найдите наибольшее возможное значение суммы
|a₁| + |a₁ + a₂| + |a₁ + a₂ + a₃| + … + |a₁ + a₂ + … + a₂₀₂₆|.
→Узнать ответ
Задание 10. Натуральное число N назовём хорошим, если для него найдутся хотя бы четыре различных пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих равенству 15x + 200y = N. Найдите наименьшее хорошее число.
→Узнать ответ
