На официальном сайте Всероссийской олимпиады школьников представлены задания и ответы школьного этапа олимпиады по Математике для учеников 10 классов, группа 1, запланированный на 18 октября 2022 года. Получите доступ к полной информации о заданиях, проверьте свои знания и подготовьтесь к успешному выступлению на олимпиаде. Участвуйте и достигайте новых успехов в области информатики!
🔗Список заданий “Сириус” по Математике 10 класс – 1 группа🔗
1. При перемножении двузначного и трёхзначного чисел получилось четырёхзначное число вида A = abab. Найдите наибольшее A, если известно, что A делится на 14.
2. Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых цифра в разряде единиц ровно на 2 больше цифры в разряде сотен. Число не может начинаться с нуля.
3. В семье Ивановых и мама, и папа, и трое их детей родились 1 апреля. Когда в семье родился первенец, родителям в сумме было 45 лет. Третий ребёнок в семье появился год назад, когда сумма возрастов всех членов семьи составляла 70 лет. Сколько лет сейчас среднему ребёнку, если сумма возрастов детей составляет 14 лет?
4. Диагонали AC и BD равнобокой трапеции ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AD:BC=8:5. Окружность ω с центром O, проходящая через вершины A и D, пересекает продолжение основания BC за точку B в точке K. Оказалось, что BK=BO. Найдите отношение основания AD к радиусу окружности ω.
5. Три посёлка А, Б и В связаны просёлочными дорогами, при этом любые два из них связывают несколько (больше одной) дорог. Движение на дорогах двустороннее. Назовём путём из одного посёлка в другой либо связывающую их дорогу, либо цепочку из двух дорог, проходящую через третий посёлок. Известно, что посёлки А и Б связывают 34 пути, посёлки Б и В — 29 путей. Какое наименьшее число путей может связывать посёлки А и В?
6. Вершины треугольника имеют координаты A (1; 3.5), B (14.5; 3.5), C (11; 17). Рассматриваются горизонтальные линии, задаваемые уравнениями y=n, где n — целое. Найдите сумму длин отрезков, высекаемых на этих прямых сторонами треугольника.
7. Числа x и y удовлетворяют равенству: xx+y+2y(x−y)=1. Найдите все возможные значения выражения 7x+yx+2y, в ответ запишите их сумму.
8. Рассматривается квадратный трёхчлен P(x)=ax2+bx+c, имеющий различные положительные корни. Вася выписал на доску четыре числа: корни P(x), а также умноженные на 9 корни трёхчлена Q(x)=cx2+bx+a. Какое наименьшее целое значение может иметь сумма выписанных чисел?