Олимпиада школьного этапа ВсОШ по Математике 11 класса задания и ответы: 1 группа, 14 октября 2026. Полный доступ к ответам и разбору всероссийской олимпиады, проходящей на площадке uts.sirius.
Скачать полные задания и ответы
Олимпиада ВсОШ по Математике 11 класс 1 группа
Задание 1.1. Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 154 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/4 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/7 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
→Узнать ответ
Задание 1.2. Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 132 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/4 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
→Узнать ответ
Задание 1.3. Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 105 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/3 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/5 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
→Узнать ответ
Задание 1.4. Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 135 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/3 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
→Узнать ответ
Задание 2.1. Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
7
12
14
→Узнать ответ
Задание 2.2. Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
10
11
16
→Узнать ответ
Задание 2.3. Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
7
14
17
→Узнать ответ
Задание 2.4. Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
1
2
5
8
9
16
→Узнать ответ
Задание 3.1. На плоскости расположены 18 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
→Узнать ответ
Задание 3.2. На плоскости расположены 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
→Узнать ответ
Задание 3.3. На плоскости расположены 22 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
→Узнать ответ
Задание 3.4. На плоскости расположены 24 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
→Узнать ответ
Задание 4.1. В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄)/(A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2523 соответственно.
→Узнать ответ
Задание 4.2. В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄)/(A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 1922 соответственно.
→Узнать ответ
Задание 4.3. В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄)/(A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2187 соответственно.
→Узнать ответ
Задание 4.4. В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄)/(A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 2178 соответственно.
→Узнать ответ
Задание 5.1. Вася случайным образом выбирает число n из множества {241; 242; …; 250} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {323; 324; …; 332} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
→Узнать ответ
Задание 5.2. Вася случайным образом выбирает число n из множества {120; 121; …; 129} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {221; 222; …; 230} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
→Узнать ответ
Задание 5.3. Вася случайным образом выбирает число n из множества {123; 124; …; 132} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {622; 623; …; 631} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
→Узнать ответ
Задание 5.4. Вася случайным образом выбирает число n из множества {250; 251; …; 259} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {422; 423; …; 431} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
→Узнать ответ
Задание 6.1. Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 13 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
→Узнать ответ
Задание 6.2. Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 10 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
→Узнать ответ
Задание 6.3. Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 11 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
→Узнать ответ
Задание 6.4. Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 14 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
→Узнать ответ
Задание 7.1. Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 361 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 209. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
→Узнать ответ
Задание 7.2. Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 253 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 575. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
→Узнать ответ
Задание 7.3. Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 190 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 323. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
→Узнать ответ
Задание 7.4. Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 289 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 119. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
→Узнать ответ
Задание 8.1. В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 11, AC = 12.
→Узнать ответ
Задание 8.2. В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 12, AB = 15, AC = 13.
→Узнать ответ
Задание 8.3. В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 7, AB = 8, AC = 9.
→Узнать ответ
Задание 8.4. В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 8, AC = 9.
→Узнать ответ
