Олимпиада школьного этапа ВсОШ по Математике 10 класса задания и ответы: 1 группа, 14 октября 2026. Полный доступ к ответам и разбору всероссийской олимпиады, проходящей на площадке uts.sirius.
Скачать полные задания и ответы
Олимпиада ВсОШ по Математике 10 класс 1 группа
Задание 1.1. Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно пятая часть всех граней маленьких кубиков?
→Узнать ответ
Задание 1.2. Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно седьмая часть всех граней маленьких кубиков?
→Узнать ответ
Задание 1.3. Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно шестая часть всех граней маленьких кубиков?
→Узнать ответ
Задание 1.4. Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно восьмая часть всех граней маленьких кубиков?
→Узнать ответ
Задание 2.1. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1414?
→Узнать ответ
Задание 2.2. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1010?
→Узнать ответ
Задание 2.3. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 2222?
→Узнать ответ
Задание 2.4. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 606?
→Узнать ответ
Задание 3.1. Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
66
123
445
570
636
924
→Узнать ответ
Задание 3.2. Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
66
159
243
524
663
927
→Узнать ответ
Задание 3.3. Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
63
145
291
369
546
927
→Узнать ответ
Задание 3.4. Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
60
309
450
476
564
921
→Узнать ответ
Задание 4.1. AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 4AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 133.
→Узнать ответ
Задание 4.2. AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 2AE = EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 138.
→Узнать ответ
Задание 4.3. AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 3AE = 2EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 135.
→Узнать ответ
Задание 4.4. AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 5AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 132.
→Узнать ответ
Задание 5.1. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 3 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
53
54
55
56
57
58
→Узнать ответ
Задание 5.2. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 5 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
62
63
64
65
66
67
→Узнать ответ
Задание 5.3. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 3, 6 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
83
84
85
86
87
88
→Узнать ответ
Задание 5.4. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 4, 6 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
74
75
76
77
78
79
→Узнать ответ
Задание 6.1. Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 61, 62. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
→Узнать ответ
Задание 6.2. Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 35, 36. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
→Узнать ответ
Задание 6.3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 47, 48. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
→Узнать ответ
Задание 6.4. Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 92, 93. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
→Узнать ответ
Задание 7.1. Пусть точка K — середина стороны AD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AB, причём AL : LB = 1 : 3. Отрезки CL и BK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MC, если сторона квадрата равна 4.
→Узнать ответ
Задание 7.2. Пусть точка K — середина стороны CD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AD, причём DL : LA = 1 : 3. Отрезки BL и AK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MB, если сторона квадрата равна 12.
→Узнать ответ
Задание 7.3. Пусть точка K — середина стороны BC квадрата ABCD, точка L лежит на стороне CD, причём CL : LD = 1 : 3. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MA, если сторона квадрата равна 8.
→Узнать ответ
Задание 7.4. Пусть точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, точка L лежит на стороне BC, причём BL : LC = 1 : 3. Отрезки DL и CK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MD, если сторона квадрата равна 6.
→Узнать ответ
Задание 8.1. Пусть Aₙ = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − Bₙ = 9Aₙ²? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→Узнать ответ
Задание 8.2. Пусть Aₙ = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − 2Bₙ = 2Aₙ²? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→Узнать ответ
Задание 8.3. Пусть Aₙ = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что 8C₂ₙ − 16Bₙ = 9Aₙ²? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→Узнать ответ
Задание 8.4. Пусть Aₙ = aa…a, то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − 2Bₙ = 18Aₙ²? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→Узнать ответ
